если 1/х+х целое (к=1), то (1/х+х)² тоже целое, но (1/х+х)²=1/х²+2+х² => 1/х²+х² целое (к=2) аналогично (1/х+х)³ тоже целое, но (1/х+х)³=1/х³+3(1/х+х)+х³ => 1/х³+х³ целое (к=3) Пусть 1/х^n+х^n целое для всех n≤к. Составим произведение двух целых чисел: (1/х^к+х^к)·(1/х+х) =1/х^(к+1)+х^(к-1)+1/х^(к-1)+х^(к+1) так как по предположению х^(к-1)+1/х^(к-1) целое, то 1/х^(к+1)+х^(к+1) тоже целое. т.о. если 1/х^к+х^к целое для к=1, то оно целое для всех целых к. Легко видеть что для -к и для к=0, оно тоже целое. не все поместилось Хотелось бы исправить решение Поэтому число значений к удовлетворяющих условию 2·2014+1=4029
Найдём уравнение прямой, описывающей лини. BC (основание треугольника) y(x)=5*x/5-1 (здесь 5 в числителе - это расстояние между вертикальными координатами точек B и C, а 5 в знаменателе - расстояние между их горизонтальными координатами ). Общее уравнение прямой запишем как 1*y-1*x+1=0. Теперь расстояние между точкой А и прямой BC (высота треугольника) равна d=|-1*7+1*3+1|/√(1²+1²)=3/√2=2,121. Длина стороны ВС равна L=√(5²+5²)=√50=7,071. Теперь площадь треугольника ищем как полупроизведение основания ВС на высоту d, то есть S=0,5*7,071*2,121=7,5 единиц.
(1/х+х)²=1/х²+2+х² => 1/х²+х² целое (к=2)
аналогично (1/х+х)³ тоже целое, но
(1/х+х)³=1/х³+3(1/х+х)+х³ => 1/х³+х³ целое (к=3)
Пусть 1/х^n+х^n целое для всех n≤к.
Составим произведение двух целых чисел:
(1/х^к+х^к)·(1/х+х) =1/х^(к+1)+х^(к-1)+1/х^(к-1)+х^(к+1)
так как по предположению х^(к-1)+1/х^(к-1) целое,
то 1/х^(к+1)+х^(к+1) тоже целое.
т.о. если 1/х^к+х^к целое для к=1, то оно целое для всех целых к.
Легко видеть что для -к и для к=0, оно тоже целое.
не все поместилось
Хотелось бы исправить решение
Поэтому число значений к удовлетворяющих условию 2·2014+1=4029