Войти Регистрация Спроси ai-bota

На кривой найдите точку, расстояние от которой до точки m(1; -1) будет наименьшим

Показать ответ

Ответ:

maks722

18.06.2020 06:38

Расстояние от точки до точки вычисляется по формуле

$\sqrt{(x_1^2-x_2^2)+(y_1^2-y_2^2)}$

В данном случае пусть $(x_1;\,y_1)$ - точка на параболе, а $(x_2;\,y_2)$ сама точка М (1, -1).

Заметим, что так как первая точка лежит на параболе, то согласно уравнению параболы эта точка принимает вид $(x;\,x-x^2)$

Теперь заново запишем расстояние, исходя из вышесказанного

$\sqrt{(x-1)^2+(x-x^2-(-1))^2}=\sqrt{(x-1)^2+(x-x^2+1)^2}$

Чтобы это расстояние было наименьшим, надо взять от него производную и приравнять ее к нулю. Найти точки минимума - это и будет абсциссой параболы.
$(\sqrt{(x-1)^2+(x-x^2+1)^2})'=\frac{2(x-1)+2(x-x^2+1)*(1-2x)}{2\sqrt{(x-1)^2+(x-x^2+1)^2}}=$

Сократим числитель и знаменатель на 2.

$=\frac{(x-1)+(x-x^2+1)*(1-2x)}{\sqrt{(x-1)^2+(x-x^2+1)^2}}$

Теперь приравняем к нулю числитель дроби. То есть фактически приравняем к нулю производную

(x-1)+(x-x^2+1)*(1-2x)=0

(x-1)+(x-x^2+1)*(1-2x)=0

Раскроем скобки

x-1+x-x^2+1-2x^2+2x^3-2x=0

x-1+x-x^2+1-2x^2+2x^3-2x=0

Заметим, что все свободные члены сокращаются

x+x-x^2-2x^2+2x^3-2x=0

x+x-x^2-2x^2+2x^3-2x=0

Также сокращаются все члены при х.

-x^2-2x^2+2x^3=0

-x^2-2x^2+2x^3=0

-3x^2+2x^3=0

x^2(-3+2x)=0

x_1=0

-3+2x_2=0

2x_2=3

x_2=1,5

Теперь найдем точку минимума. Сама производная, как видно, меняет знак вместе с многочленом в числителе -3x^2+2x^3

-3x^2+2x^3

. Обозначим ее за g(x)=-3x^2+2x^3

g(x)=-3x^2+2x^3

.

g(-1)=-3-2=-5<0,

g(1)=-3+2=-1<0

g(2)=-3*4+16=40

Как видно, точка х=1,5 - является минимумом функции расстояния.

Чтобы найти у, надо подставить х=1,5 в уравнение параболы

y=1,5-1,5^2

y=1,5-1,5^2

y=1,5-2,25

y=-0,75

Значит точкой самой близкой к М на параболе является точка (1,5; -0,75).

ответ: (1,5; -0,75).

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

akabakova56gmailcom

02.02.2021 05:52

9.А. Сотрудник производственного цеха для приготовления 15л смеси использовал 5 кг соли Сколько кг соли понадобится для 27 л смеси...

failbulkhin2017

06.01.2020 22:03

У Игната в коробке с игрушками есть три лодки, грузовики, у которых по 6 колес, и легковые машинки, у которых по 4 колеса. И больше ничего. Игнат научился считать, и сразу...

Danyaukos

09.08.2020 19:20

Оба решить...в формате ЕГЭ, то есть то, как нужно экспертам...

milankagl

10.03.2021 20:05

Сколько чиселнаходится между 1000и 9900 где все 4 цифрыразные...

varvarasitikova

08.07.2020 11:25

Пусть v(t) 0 — скорость прямолинейно движущейся точки на отрезке времени [t1,t2]. Найдите путь, пройденный этой точкой за время от t=t1, до t=t2,....

marina13marina13

05.08.2022 19:25

Найдите наибольшое целое значение перииетра треугольника дае стороны которого равны 6см и 8 см...

rahimzhan20p0dqkg

05.05.2020 01:24

Ip kakoM 3HayeHuns 6yAe BepHblM paBEHCTBO 4s+5s-s = 240....

kategorn1

26.12.2020 16:31

Берилген создердеги у кандай дыбыс екенин айт...

xalva123

29.07.2021 10:15

начертить прямую методом двух точек.1)-2)-4)-7)-10...

Elizkap01

01.03.2022 19:16

30-49:42:6×8=184 поставить скобки...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку