Секрет задачи в том, что предложенная сумма превышает стоимость всего кваса в бочонке, а это значит, что в некоторый момент продавец имеет возможность вылить остатки кваса из бочки и использовать её как дополнительную ёмкость. Возможен следующий порядок действий (первое число — количество литров кваса в трёхлитровой ёмкости, второе — в пятилитровой): (0, 5) — (3, 2) — (0, 2) — (2, 0) — (2, 5) Отмерив 7 л, опорожняем бочонок, сливаем в него 7 л и действуем по следующей схеме (третье число — квас в бочонке): (0, 0, 7) — (3, 0, 4) — (0, 3, 4) — (3, 3, 1) — (1, 5, 1) — (1, 0, 1) — (1, 1, 0)
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу. Следовательно, соединив точки А, М, О и А, О, N получим два равных прямоугольных треугольника АМО и АNО, поскольку ОМ=ОN=R, а сторона ОА - общая, а сами треугольники прямоугольные.
В таком случае МN в точке пересечения (обозначим ее Р) с АО делится пополам.
То есть МР= NР= 48/2=24
К тому же отрезок АО перпендикулярен отрезку МN.
Рассмотрим треугольник АМО.
1) ОМ=R, АО =50, высота МР=24
По теореме Пифагора
АО² = ОМ² + АМ²
Следовательно,
50² = R² + АМ²,
АМ² = 50² - R²
2) Высота МР делит АО на два отрезка ОР и АР
ОР² = ОМ² - МР²,
то есть ОР² = R² - 24²
И
АР² = АМ² - МР²,
или (АО - ОР)² = АМ² - МР²,
то есть [50 - √(R² - 24²)]² = АМ² - 24²
Отсюда АМ² = [50 - √(R² - 24²)] + 24²
3) Поскольку левые части уравнений из 1) и 2) равны, то равны и правые части:
50² - R² = [50 - √(R² - 24²)]² + 24²
50² - R² = 50² - 2•50•√(R² - 24²) + R² - 24² + 24²
-50² + R² + 50² - 2•50•√(R² - 24²) + R² - 24² + 24² = 0
2R² - 2•50•√(R² - 24²) = 0
R² - 50•√(R² - 24²) = 0
R² = 50•√(R² - 24²)
R²/50 = √(R² - 24²)
(R²/50)² = [√(R² - 24²)]²
(R²)²/2500 = R² - 24²
(R²)² = 2500R² - 2500•576
(R²)² - 2500R² + 1440000 = 0
Дискриминант = 2500•2500 - 4• 1440000 =
= 6250000 - 5760000 = 490000
Первый корень уравнения:
R² = (2500 + √490000)/2=
= (2500+ 700)/2 = 3200/2 = 1600
Следовательно, R=√1600 = 40
Второй корень уравнения:
R² = (2500 - √490000)/2 =
= (2500 - 700)/2 = 1800/2 = 900
Следовательно, R=√900 = 30
4) Поскольку по условию АМ<ОМ, иначе говоря, АМ<R
и из 1) известно, что
АО² = ОМ² + АМ²,
или
50² = R² + АМ²,
следовательно, АМ² = 50² - R²
подберем верный корень:
1. АМ² = 50² - R² = 2500-1600=900
АМ = √900 = 30
2. АМ² = 50² - 30² = 2500-900=1600
АМ = √1600= 40
Для выполнения условия АМ<R подходит корень R=40, при котором АМ=30
ответ: R=40