Докажем, что, начиная с , последовательность Фибоначчи периодическая по модулю 1000.
Рассмотрим пару чисел .
Каждое из чисел каждой из пар дает один из остатков по модулю . Тогда всего вариантов пар остатков от деления на 1000 может быть (1000 вариантов остатков 1ого числа пары и 1000 вариантов у 2ого).
Тогда, по принципу Дирихле, в рассматриваемом мн-ве пар найдутся хотя бы 2 пары чисел, соответствующие элементы которых сравнимы по модулю 1000 - а, с учетом определения последовательности Фибоначчи, это и означает периодичность остатков ее членов по модулю 1000.
Возьмем 2 такие пары с наименьшими номерами. Пусть это пары . Покажем, что .
Пусть не так, и .
По построению,
Но, по определению последовательности Фибоначчи, . А значит . А тогда соответствующие элементы пар чисел сравнимы по модулю 1000 - противоречие с тем, что - пары с наименьшими номерами.
Значит .
А это означает, что в последовательности остатков от деления членов последовательности Фибоначчи на 1000 найдется сколь угодно чисел, сравнимых с по модулю 1000. Т.к последовательность возрастающая и неограниченная, начиная со 2ого члена, это утверждение эквивалентно условию задачи.
Доказано.
________________________________
Можно доказать аналогичным образом и более общее утверждение: последовательность чисел Фибоначчи по модулю периодическая (вышеприведенные рассуждения - частный случай этого док-ва). Длина периода такой последовательности обозначается и называется период Пизано.
Пошаговое объяснение:
1)
1дм = 10см, 1дм³=10*10*10см³=1000см³
45дм³-59см³=45000см³-59см³=
=44941см³=44дм³ 941см³
2)
1м=10дм, 1м³=10*10*10дм³=1000дм³
74м³-145дм³=74000дм³-145дм³=
=73855дм³=73м³ 855дм³
3)
1см=10мм, 1см³=10*10*10мм³=1000мм³
50см³-35мм³=50000мм³-35мм³=
=49965мм³=49см³ 965мм³
4)
1см³=1000мм³(смотри пункт 3)
10см³-63мм³=10000мм³-63мм³=
=9937мм³=9см³937мм³
5)
1м=10дм, 1дм=10см,
1м=10*10см=100см
1м³=100*100*100см³=1000000см³
1м³-4750см³=1000000см³-4750см³=
=995250см³=995дм³250см
6)
1см³=1000мм³(смотри пункт 3)
63см³-609мм³=63000мм³-609мм³=
=62391мм³=62см³391мм³
Заметим, что
Докажем, что, начиная с
, последовательность Фибоначчи периодическая по модулю 1000.
Рассмотрим
пару чисел 
.
Каждое из чисел каждой из пар дает один из
остатков по модулю 
. Тогда всего вариантов пар остатков от деления на 1000 может быть 
(1000 вариантов остатков 1ого числа пары и 1000 вариантов у 2ого).
Тогда, по принципу Дирихле, в рассматриваемом мн-ве пар найдутся хотя бы 2 пары чисел, соответствующие элементы которых сравнимы по модулю 1000 - а, с учетом определения последовательности Фибоначчи, это и означает периодичность остатков ее членов по модулю 1000.
Возьмем 2 такие пары с наименьшими номерами. Пусть это пары
. Покажем, что 
.
Пусть не так, и
.
По построению,
Но, по определению последовательности Фибоначчи,
. А значит 
. А тогда соответствующие элементы пар чисел 
сравнимы по модулю 1000 - противоречие с тем, что 
- пары с наименьшими номерами.
Значит
.
А это означает, что в последовательности остатков от деления членов последовательности Фибоначчи на 1000 найдется сколь угодно чисел, сравнимых с
по модулю 1000. Т.к последовательность возрастающая и неограниченная, начиная со 2ого члена, это утверждение эквивалентно условию задачи.
Доказано.
________________________________
Можно доказать аналогичным образом и более общее утверждение: последовательность чисел Фибоначчи по модулю
периодическая (вышеприведенные рассуждения - частный случай этого док-ва). Длина периода такой последовательности обозначается 
и называется период Пизано.