На сторонах AB і BC трикутника ABC, площа якого дорівнює 360 см2, а радіус вписаного кола — 8 см, позначено точки D і E відповідно, AD:DB=CE:EB=3:7. 1. Знайдіть периметр трикутника ABC (у см). 2. Знайдіть периметр трикутника BDE (у см).
В эту теоретическую часть входит теорема о пропорциональности отрезков хорды и диаметра, имеющих одну общую точку, следствие для случая для двух хорд, обобщение на случай любого количества хорд, проходящих через одну общую точку.
Теорема 1: Если через точку (М), взятую внутри круга, проведена какая-нибудь хорда (АВ) и диаметр (CD), то произведение отрезков хорды () равно произведению отрезков диаметра ()(Рис. 1.).
Дано: Окр(О; ОА), − диаметр, АВ − хорда, .
Доказать: = .
Доказательство: Чтобы доказать равенство, достаточно сравнить отношения и . Пропорциональные отрезки - это сходственные стороны в подобных треугольниках. Рассмотрим треугольники и . Эти треугольники будут подобны по первому признаку подобия треугольников: как вертикальные; как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу AND. Из подобия треугольников следует пропорциональность сходственных сторон, т. е., или , или = .Следствие 2: Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды (Рис.2.).Дано: Окр(О; ОА), АВ, EF − хорды, .Доказать: = .Доказательство: Проведем диаметр CD через точку М. Тогда, по теореме 1, для хорды АВ: = ;для хорды EF: = .Т. к. равные правые части равенств, то равны и левые части, т. е.= .Следствие 3 (обобщение следствия 1): Если через точку (М), взятую внутри круга, проведено сколько угодного хорд (AB, EF, KL,…), то произведение отрезков каждой хорды есть число, постоянное для всех хорд (т. к. для каждой хорды это произведение равно произведению отрезков диаметра, проходящего через взятую точку).
(1м+3п)-умножим на 3 и получим (3м+9п) По условию (3м+4п) делится на 5, найдем разность: (3м+9п)-(3м+4п)=5п, сколько бы не стоили пирожные при умнжении на пять мы получим цену, за которую можно расплатиться пятирублевками. Отсюда следует, что (3м+9п) делится на 5, (1м+3п) в три раза меньше чем(3м+9п), значит цена Катиной покупки будет делиться на 5 если(3м+9п)будет делится еще и на 3, а оно будет делится тк каждое слагаемое этой суммы делится на 3. Значит Катя сможет расплатиться пятирублевыми монетами. ответ: да, сможет.
В эту теоретическую часть входит теорема о пропорциональности отрезков хорды и диаметра, имеющих одну общую точку, следствие для случая для двух хорд, обобщение на случай любого количества хорд, проходящих через одну общую точку.
Теорема 1: Если через точку (М), взятую внутри круга, проведена какая-нибудь хорда (АВ) и диаметр (CD), то произведение отрезков хорды () равно произведению отрезков диаметра ()(Рис. 1.).
Дано: Окр(О; ОА), − диаметр, АВ − хорда, .
Доказать: = .
Доказательство: Чтобы доказать равенство, достаточно сравнить отношения и . Пропорциональные отрезки - это сходственные стороны в подобных треугольниках. Рассмотрим треугольники и . Эти треугольники будут подобны по первому признаку подобия треугольников: как вертикальные; как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу AND. Из подобия треугольников следует пропорциональность сходственных сторон, т. е., или , или = .Следствие 2: Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды (Рис.2.).Дано: Окр(О; ОА), АВ, EF − хорды, .Доказать: = .Доказательство: Проведем диаметр CD через точку М. Тогда, по теореме 1, для хорды АВ: = ;для хорды EF: = .Т. к. равные правые части равенств, то равны и левые части, т. е.= .Следствие 3 (обобщение следствия 1): Если через точку (М), взятую внутри круга, проведено сколько угодного хорд (AB, EF, KL,…), то произведение отрезков каждой хорды есть число, постоянное для всех хорд (т. к. для каждой хорды это произведение равно произведению отрезков диаметра, проходящего через взятую точку).По условию (3м+4п) делится на 5, найдем разность: (3м+9п)-(3м+4п)=5п, сколько бы не стоили пирожные при умнжении на пять мы получим цену, за которую можно расплатиться пятирублевками. Отсюда следует, что (3м+9п) делится на 5,
(1м+3п) в три раза меньше чем(3м+9п), значит цена Катиной покупки будет делиться на 5 если(3м+9п)будет делится еще и на 3, а оно будет делится тк каждое слагаемое этой суммы делится на 3. Значит Катя сможет расплатиться пятирублевыми монетами.
ответ: да, сможет.