На сторонах АВ, BC, CD, DA квадрата ABCD отмечены их середины K, L, M, N соответственно и точка Р внутри квадрата так, что известны площади трёх четырёхугольников: AKPN=16, BLPK=20, CMPL=32. Чему равна площадь четырёхугольника DNPM?

№1. но тут только Россия. Сейчас идёт на сцене Новосибирского Оперного театра, в Музыкальном театре имени Станиславского и Немировича-Данченко, Большом театре, Детском Музыкальном театре им. Натальи Сац, Пермском, Нижегородском, Татарском, Красноярском, Челябинском, Магнитогорском и Минском театрах оперы и балета.
№2. 
1930 год: (отрывки) Кармен — Кончита Супервиа, Дон Хозе — Гастон Мичелетти, дирижёр — Густав Клоец.
1953 год: Кармен — Вероника Борисенко, Дон Хозе — Георгий Нэлепп, Эскамильо — Алексей Иванов, Микаэла — Елизавета Шумская, хор и оркестр Большого театра СССР, дирижёр — Василий Небольсин.
1959 год: Кармен — Ирина Архипова, Дон Хозе — Марио дель Монако, Эскамильо — Павел Лисициан, Микаэла — Ирина Масленникова, оркестр и хор Большого театра СССР, дирижёр — А. Мелик-Пашаев.
1964 год: Кармен — Мария Каллас, Дон Хозе — Николай Гедда, Эскамильо — Робер Массар, Микаэла — Андреа Гийо, хор п/у Жана Пено, оркестр театра «Гранд-опера», дирижёр — Жорж Претр.
1978 год: Кармен — Тереза Берганса, Дон Хозе — Пласидо Доминго, Эскамильо — Шерил Милнс, Микаэла — Илеана Которубас, Амвросианский оперный хор, Лондонский симфонический оркестр, дирижёр — Клаудио Аббадо.
1979 год: Кармен — Тамара Синявская, Дон Хозе — Зураб Соткилава, Эскамильо — Юрий Мазурок, Микаэла — Людмила Сергиенко, Суньига — Юрий Королёв, Фраскита — Татьяна Тугаринова, хор и оркестр Большого театра СССР, дирижёр — Фуат Мансуров.
1988 год: Кармен — Джесси Норман, Дон Хозе — Нил Шикофф, Эскамильо — Саймон Эстес, Микаэла — Мирелла Френи, хор Французского радио, Национальный оркестр Франции, дирижёр — Сэйдзи Одзава.

1. Сечение шара - круг. Площадь круга: S = πr².

S₁ = πr₁² = 25π    ⇒     r₁ = 5

S₂ = πr₂² = 144π    ⇒   r₂ = 12

Отрезок, соединяющий центр шара с центром сечения, перпендикулярен сечению.

Обозначим ОС = х, тогда OS = 17 - х.

Из прямоугольных треугольников ОСА и OSB выразим радиус шара по теореме Пифагора:

R² = (17 - x)² + r₁² = (17 - x)² + 25

R² = x² + r₂² = x² + 144

(17 - x)² + 25 = x² + 144

289 - 34x + x² + 25 = x² + 144

34x = 170

x = 5

R = √(x² + 144) = √(25 + 144) = √169 = 13

Sпов. шара = 4πR² = 4 · π ·  169 = 676π

2. Так как вершины квадрата лежат на сфере, то квадрат вписан в сечение сферы, в окружность, центр которой лежит в точке пересечения диагоналей квадрата.

Отрезок, соединяющий центр сферы с центром сечения, перпендикулярен сечению. Тогда SD - проекция наклонной OD на плоскость АВС, значит ∠SDO = 60° - угол между радиусом и плоскостью АВС.

OS - искомое расстояние.

BD = 12√2 как диагональ квадрата,

SD = 6√2.

Из прямоугольного треугольника SOD:

tg 60° = SO / SD

SO = SD · tg 60° = 6√2 · √3 = 6√6

3. Так как стороны треугольника касаются шара, то круг - сечение шара - вписан в треугольник.

Отрезок, соединяющий центр шара с центром сечения, перпендикулярен сечению.

OS = √2 - расстояние от центра шара до плоскости треугольника.

Полупериметр треугольника АВС:

p = (8 + 10 + 12)/2 = 15

По формуле Герона:

Sabc = √(p·(p - AB)·(p - BC)·(p - AC))

Sabc = √(15 · 7 · 5 · 3) = √(5 · 3 · 7 · 5 · 3) = 15√7

Sabc = p·r, где r = SK - радиус вписанной окружности.

p · SK = 15√7

SK = 15√7 / 15 = √7

Из прямоугольного треугольника SOK по теореме Пифагора:

ОК = √(SK² + OS²) = √(7 + 2) = √9 = 3

R = 3

4. Ядро - шар. Если его переплавили в конус, значит объем шара и конуса одинаков.

Пусть R = 1 - радиус шара, r - радиус конуса.

Vшара = 4/3 π R³ = 4/3π

Vконуса = 1/3 πr² · h = 4/3π, отсюда

r² · h = 4

Из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом основания и образующей конуса, по теореме Пифагора:

r² + h² = 6

Получили систему уравнений:

r² · h = 4

r² + h² = 6

r² = 6 - h²

(6 - h²) · h = 4     (2)

Решим второе:

6h - h³ = 4

h³ - 6h + 4 = 0

(h - 2)(h² + 2h - 2) = 0

h = 2

или

h² + 2h - 2 = 0

D/4 = 1 + 2 = 3

h = - 1 - √3 -  не подходит по смыслу задачи, или

h = - 1 + √3 - не подходит по условию, так как высота не меньше 1.

ответ: h = 2