На трёх тракторах фермеры вспахали поле за 8 ч. За сколько времени было бы вспахано это поле, если бы на нём работали 6 тракторов той же мощности? 1) 16 ч 2) 6 ч 3) 4 ч 4) 2 ч
Из точки М проведен перпендикуляр МD, равный 6 см., к плоскости квадрата АВСD. Наклонная МВ образует с плоскостью квадрата угол 60°. Доказать, что треугольники МАВ и МСВ прямоугольные. Найдите сторону квадрата. Докажите, что треугольник АВD является проекцией треугольника МАВ на плоскость квадрата, и найдите его площадь.
рисунок к задаче 196 Угол между прямой и плоскостью - это угол между этой прямой и её проекцией на эту плоскость. Т.е. ∠МВD=60°.
Рассмотрим наклонную МС, проекцию CD и прямую в ВС. Угол ВСD прямой (угол квадрата). По теореме о трех перпендикулярах угол МСВ тоже равен 90 градусов. А треугольник МСВ прямоугольный. Аналогично треугольник МАВ тоже является прямоугольным.
MD перпендикулярна плоскости квадрата, а значит перпендикулярна и любой прямой (BD к примеру) в этой плоскости. Рассмотрим прямоугольный треугольник МВD. В нем:
BD=MD * ctg60°
BD=6 * (корень из 3)/3 BD=2 корня из 3
Известно, что диагональ квадтрата больше его стороны в корень из 2 раз, поэтому:
АВ=BD/(корень из 2)
АВ=(2 корня из 3)/(корень из 2)=корень из 6
Две вершины треугольника АМВ уже лежат в плоскости АВСD, а точка М ортогонально спроектировна в точку D. Поэтому треугольник АBD является проекцией треугольника АМВ. SABD=1/2 * АВ2=3
Произведем замену. Пусть , тогда придем к уравнению вида Поскольку t - положительное число, то корни квадратного трехчлена с действительными коэффициентами оба действительны и оба больше данного числа (, когда
Согласно этому и условию, имеем
Рассмотрим неравенства отдельно
. Применяя формулу сокращенного умножения в левой части неравенства, получим , тогда . Приравняв к нулю, получим корни
. Левая часть неравенства принимает только положительные значения, значит неравенство выполняется при
. Умножив обе части неравенства на 2, получим откуда
Общее решение системы неравенств
Проверим теперь некоторые нюансы. Если , то неравенство примет вид . Используя формулу сокращенного умножения , получим , тогда откуда . Значит при а=-23 уравнение имеет 2 корня, следовательно, а=-23 нам не подходит.
Если , то уравнение примет вид . Решив квадратное уравнение относительно , имеем . Поскольку D<0, то квадратное уравнение действительных корней не имеет.
Из точки М проведен перпендикуляр МD, равный 6 см., к плоскости квадрата АВСD. Наклонная МВ образует с плоскостью квадрата угол 60°. Доказать, что треугольники МАВ и МСВ прямоугольные. Найдите сторону квадрата. Докажите, что треугольник АВD является проекцией треугольника МАВ на плоскость квадрата, и найдите его площадь.
рисунок к задаче 196 Угол между прямой и плоскостью - это угол между этой прямой и её проекцией на эту плоскость. Т.е. ∠МВD=60°.
Рассмотрим наклонную МС, проекцию CD и прямую в ВС. Угол ВСD прямой (угол квадрата). По теореме о трех перпендикулярах угол МСВ тоже равен 90 градусов. А треугольник МСВ прямоугольный. Аналогично треугольник МАВ тоже является прямоугольным.
MD перпендикулярна плоскости квадрата, а значит перпендикулярна и любой прямой (BD к примеру) в этой плоскости. Рассмотрим прямоугольный треугольник МВD. В нем:
BD=MD * ctg60°
BD=6 * (корень из 3)/3 BD=2 корня из 3
Известно, что диагональ квадтрата больше его стороны в корень из 2 раз, поэтому:
АВ=BD/(корень из 2)
АВ=(2 корня из 3)/(корень из 2)=корень из 6
Две вершины треугольника АМВ уже лежат в плоскости АВСD, а точка М ортогонально спроектировна в точку D. Поэтому треугольник АBD является проекцией треугольника АМВ. SABD=1/2 * АВ2=3
Пошаговое объяснение:
Согласно этому и условию, имеем
Рассмотрим неравенства отдельно
Общее решение системы неравенств
Проверим теперь некоторые нюансы. Если
Если
ответ: