На уроке математики каждому из пяти гномов нужно найти одно двузначное число, при прибавлении к которому числа 27, получалось бы число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Могут ли все числа, найденные гномами, оказаться различными

Допусти гном загадал число, первая цифра которого = x, а вторая y

Тогда само число будет равняться x*10 + y, а если поменять местами цифры, то получиться y*10 + x

Составим уравнение :

10x + y + 27 = 10y + x

9y - 9x = 27

9(x - y) = 27

x - y = 3

y = x + 3

Получается , что под наше условие подходят все числа, первая цифра которого на 3 меньше, чем вторая, найдем все эти двухзначные числа, подставляя место х все цифры, пока наше число не станет трехзначным(х или y > 9) :

x = 1, y = 4, число 14

x = 2, y = 5, число 25

x = 3, y = 6, число 36

x = 4, y = 7, число 47

x = 5, y = 8, число 58

x = 6, y = 9, число 69

Значит всего таких двухзначный чисел 6, а гномов 5, значит все найденные числа гномами различные!