Начертите таблицу разрядов и классов,
Впишите в таблицу числа: 100 000; 10 000; 1 000; 100;
10; 1. Во сколько раз каждое число больше соседнего числа
справа?
меньше соседнего числа слева? Как изменяются числа
в таблице разрядов и классов справа налево, слева направо?
х чел. - первая
2х чел. - вторая
6х чел. - третья
Всего 45 чел.
х+2х+6х=45
9х=45
х=45:9
х=5(чел.) - в первой
5*2=10(чел.) - во второй
5*3=30(чел.) - в третьей
2.
х л - первый бидон
х+3 л - второй
2(х+3) л - в третьем
Всего 37 л
х+х+3+2(х+3)=37
4х+9=37
4х=37-9
4х=28
х=7(л) - первый бидон
7+3=10(л)-второй
2*10=20(л)-третий
3.
х л - во второй цистерне
3х л - в первой
5х л - в третьей
3х+10 л - стало в I цистерне
х -2 л - стало во II
Всего стало 2708
х -2+3х+10+5х=2708
9х+8=2708
9х=2708 - 8
9х=2700
х=300(л) - во II цистерне
300*3=900(л)- в первой
300*5=1500(л) - в третьей
Лемма: рассмотрим числа, в записи которых отсутствует 0. Тогда при умножении этого числа на 8 сумма его цифр увеличится не более чем в 8 раз.
Доказательство: предположим противное. Пусть
- сумма цифр числа n, а
- количество цифр числа n. Тогда
, где
, с другой стороны
, значит,
, что неверно для
. Если
, то число n состоит только из единиц, а число 8n - из девяток, что, очевидно, неверно. Лемма доказана.
Рассмотрим теперь произвольное число x, где есть нули. Выберем такое число y, что во всех отличных от нуля цифрах числа x оно с ним совпадает, а в нулевых цифрах у него единицы (например, для числа x=8048903 число y было бы 8148913). Тогда
- есть число, состоящее из 1 и 0. В свою очередь
состоит из 8 и 0.
Если
, то применяя лемму, получим
, с другой стороны
, что видно из механизма умножения в столбик таких чисел. Противоречие.
Пример: 1*8=8
Задача про минимум решается аналогично