Нахождение производных сложных функций. 3 примера

1) (2x + y)² = 4x² + 4xy + y²

2) (a + 3в)² = a² + 6aв + 9в²

3) (1 - 2x)² = 1 - 4x + 4x²

4) (5 - 4a)² = 25 - 40a + 16a²

5) (6в + 10)² = 36в² + 120в + 100

6) (8y - 5x)² = 64y² - 80xy + 25x²

Пошаговое объяснение:

Формула квадрата суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b²

Формула квадрата разности: (a - b)² = a² - 2ab + b²

1) (2x + y)² = (2x)² + 2 * 2x*y + y² = 4x² + 4xy + y²

2) (а + 3в)² = а² + 2 * 3в*а + (3в)² = а² + 6ав + 9в²

3) (1 - 2x)² = 1² - 2 * 1*2x + (2x)² = 1 - 4x + 4x²

4) (5 - 4a)² = 5² - 2 * 5*4a + (4a)² = 25 * 40a + 16a²

5) (6в + 10)² = (6в)² + 2 * 6в*10 + 10² = 36в² + 120в + 100

6) (8y - 5x)² = (8y)² - 2 * 8y*5x + (5x)² = 64y² - 80xy + 25x²

Введём обозначение НОД(a; b) = n. Так как a•b = НОД(a; b)•НОК(a; b), то

НОК(a; b) = a•b/НОД(a; b) = a•b/n.

Рассмотрим числа c = a/n и d = b/n. Тогда c и d взаимно простые числа. Поэтому HOД(c; d) = 1 и НОК(c; d) = c•d.

Далее, так как a = c•n и b = d•n, то

6•(a+b) = 6•(c•n+d•n) = 6•n•(c+d) и НОД(a; b)+НОК(a; b) = n + a•b/n.

Отсюда

6•n•(c+d) = n + a•b/n или

6•(c+d) = 1 + a•b/n² = 1 + (a/n)•(b/n) = 1 + c•d = HOД(c; d) + НОК(c; d), то есть

6•(c+d) = HOД(c; d) + НОК(c; d).

Так как c ≤ a и d ≤ b, то последнее равенство означает, что наименьшее значение a•b следует искать среди чисел, для которых HOД(a; b) = 1.

Найдём целочисленные решения уравнения

6•(c+d) = 1 + c•d.

6•(c+d) = 1 + c•d ⇔ 6•c–c•d = 1–6•d ⇔ c•(6–d) = 1–6•d ⇔

⇔ c = (1–6•d)/(6–d) = (6•d–1)/(d–6) = (6•d–36+35)/(d–6) = 6+35/(d–6).

Значит, 35 делится на d–6, поэтому

d = 7 или 11 или 13 или 41.

Отсюда

c = 41 или 13 или 11 или 7.

Тогда получим следующие пары:

(7; 41), (11; 13), (13; 11), (41; 7).

Так как 7•41 = 287 и 11•13 = 143, то наименьшее произведение равно 143