Наклоните координатную плоскость к точкам 4 (3; 4); В (-2; -4); С (-1,5);
D (-2; -2);
E (4; -2)

1. а) Сравнить числа:
3,258 < 4,2;
6,381 < 6,4;
0,95 > 0,9499.

б) Выразить в метрах:
3 м 321 мм=3м+0,321м=3,321 м≈3,32 м
5 м 80 мм=5 м+0,08 м=5,08м
473 мм=0,473м≈0,47м
5 мм=0,005м

3.Округлить:
а) 5,2; 20,7; 361,5 и 0,4 (до единиц);
б) 0,62; 15,24; 4,37 и 0,01 (до сотых).

4. Собственная скоpость теплохода 53,2 км/ч. Скоpость теплохода пpотив течения pеки 50,5 км/ч. Найди скоpость теплохода по течению.
1) Вычислим скорость течения реки: 53,2-50,5=2,7 км/ч
2) 53,2+2,7= 55,9 (км)

5. Запиши четыpе значения a, пpи котоpых веpно неpавенство:
17,5>а>2,13 (а= 2,99; 5; 9,5; 17,4)
96,2 >а>4,09 (а=10; 40;50;96,1)
0,39 >а>0,046 (а=0,049; 0,05; 0,25; 0,38)
6 >а>3,54 (а=3,59; 4; 4,5; 5,9)
0,33<а<0,36 (а=0,34; 0,35; 0,345; 0,355)

Даны координаты вершин пирамиды A1А2А3А4:

A1 (0, –1, 1), A2 (1, –6, 3), A3 (1, –5, 0), A4 (–2, 0, –2).

Найти: а) угол между ребрами A1А2 и A1А3;

                                                                      x    y     z       СумКвад.   Длина ребра  

Вектор А1А2={xА2-xA1, yА2-yA1, zА2-zA1}  1    -5    2            =  √30     =   5,47723

Вектор А1А3={xА3-xA1, yА3-yA1, zА3-zA1} 1     -4       -1        =  √18 =    4,24264.

cos A = (1*1 + (-5)*(-4) + 2*(-1)) / (6*√5) = 19/(√30*√18) = 19/√540 = 19/(6√15).

Угол А равен arc cos(19/(6√15) = 0,6135 радиан или 35,1518 градуса.

б) площадь грани A1 А2 А3;

Площадь грани A1 А2 А3 равна половине модуля векторного произведения:  

S = (1/2)|A1А2*A1А3|.Координаты векторов найдены выше:  

A1 A2: (1; -5; 2),   A1 A3: (1; -4; -1).                  

i        j      k|       i        j

1     -5      2|      1       -5

1     -4     -1|     1      -4   =   5i + 2j - 4k + 1j + 8i + 5k =

                                       =   13i + 3j + 1k.

Модуль равен √(13² + 3² +1²) = √179 ≈ 13,3791.

Площадь S = (1/2)* √179  ≈ 6,6895.

в) уравнение плоскости A1A2A3

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x – xA1         y – yA1     z – zA1

xА2 – xA1    yА2 – yA1      zА2 – zA1

xА3 – xA1     yА3 – yA1      zА3 – zA1   = 0

Подставим данные: A1 (0, –1, 1), A2 (1, –6, 3), A3 (1, –5, 0) и упростим выражение:

x - 0         y - (-1)        z - 1

1 - 0       -6 - (-1)        3 - 1

1 - 0       -5 - (-1)        0 – 1  = 0

x         y + 1         z - 1

1          -5              2

1         -4              -1   = 0

x * ((-5)·(-1)-2·(-4))  -  (y + 1) * (1·(-1)-2·1)  +  (z - 1) * (1·(-4)-(-5)·1  = 0

13 x + 3 y + 3 + 1z - 1  = 0

13x + 3y + 1z + 2 = 0.

г) уравнение высоты, проходящей через A4;

Нормальный вектор плоскости А1А2А3 является направляющим вектором высоты из вершины А4 на грань A1А2А3.

Точка А4 (–2, 0, –2), вектор (13; 3; 1).

Уравнение высоты: (x + 2)/13 = y /3 = (z + 2)/1.

д) объём пирамиды.

Объём пирамиды V = (1/6)*|(A1А2xA1А3)*A1А4|.

A1А2xA1А3    =    13      3       1

     А1А4    =     -2         1          -3

A4 (–2, 0, –2) - A1 (0, –1, 1) = (-2; 1; -3).

(1/6)*|(A1А2xA1А3)*A1А4| = (1/6)*|(-26 + 3 - 3)| = 26/6 = 13/3 куб.ед.