Чтобы ИЗМЕРИТЬ расстояние между двумя точками, надо провести между ними прямую и измерить длину отрезка между этими точками. Геометр, расставляя точки на окружности получил вписанный многоугольник. Формула КОЛИЧЕСТВА диагоналей многоугольника: K=n*(n-3)/2. Расположив, к примеру, 6 точек на окружности, он получил шестиугольник с 9 диагоналями, да еще 6 сторон - итого 15 отрезков, которые он измерил. Предположим, что все отрезки разные. Значит, для получения 15 разных чисел он расставил 6 точек. Но предположим, что многоугольник получился правильным. И тогда мы увидим, что РАЗНЫХ чисел у геометра получилось только 3 сторона (все стороны равны) и две диагонали (все остальные попарно равны измеренным двум). Получилось так потому, что правильный n-угольник имеет n осей симметрии, проходящих через его центр. Если n - четно, то оси симметрии правильного многоугольника содержат противоположные вершины. Если n - нечетно, то осями симметрии правильного многоугольника являются прямые, каждая из которых проходит через вершину многоугольника перпендикулярно противолежащей ей стороне. Проведем ось симметрии для нашего 6-угольника. Она пройдет через ЛЮБЫЕ две противоположные вершины и окажется, что две вершины, лежащие по разные стороны оси симметрии, равноудалены от вершины, через которую проходит ось симметрии, но имеют разную длину. Один из этих отрезков в 6-угольнике совпадает со стороной 6-угольника и его не считаем. И плюс расстояние между противоположными вершинами. Итого 2 разных отрезка. Да еще отрезок - сторона многоугольника. Итого 3 РАЗНЫХ отрезка. Рассмотрим правильный 7-угольник, у которого ось симметрии пройдет через вершину и середину противоположной стороны. Мы получим те же 2 разных отрезка по одну из сторон оси симметрии плюс отрезок - сторону. Итого - те же 3 разных отрезка. Итак, построив правильный 7-угольник, мы получили 3 разных отрезка или наоборот, чтобы получить 3 разных числа (отрезка) нам пришлось построить правильный 7-угольник. Получили формулу: О=(n-1)/2, или наоборот, n=2*O+1, где О - максимальное количество разных отрезков. Так как геомтру необходимо получить МАКСИМАЛЬНОЕ число точек, то для получения 40 РАЗНЫХ чисел ему понадобится расположить на окружности 81 точку, построив ПРАВИЛЬНЫЙ 81-угольник.
P.S. Строить правильный 81-угольник сложно. На рисунке для примера дан 21-угольник. Для проверки формулы можете легко построить 8 и 9-угольники или 10 и 11 угольники и сравнить их.
Геометр, расставляя точки на окружности получил вписанный многоугольник.
Формула КОЛИЧЕСТВА диагоналей многоугольника:
K=n*(n-3)/2.
Расположив, к примеру, 6 точек на окружности, он получил шестиугольник с 9 диагоналями, да еще 6 сторон - итого 15 отрезков, которые он измерил. Предположим, что все отрезки разные.
Значит, для получения 15 разных чисел он расставил 6 точек.
Но предположим, что многоугольник получился правильным.
И тогда мы увидим, что РАЗНЫХ чисел у геометра получилось только 3 сторона (все стороны равны) и две диагонали (все остальные попарно равны измеренным двум). Получилось так потому, что правильный n-угольник имеет n осей симметрии, проходящих через его центр.
Если n - четно, то оси симметрии правильного многоугольника содержат
противоположные вершины.
Если n - нечетно, то осями симметрии правильного многоугольника являются прямые, каждая из которых проходит через вершину многоугольника перпендикулярно противолежащей ей стороне.
Проведем ось симметрии для нашего 6-угольника. Она пройдет через ЛЮБЫЕ две противоположные вершины и окажется, что две вершины, лежащие по разные стороны оси симметрии, равноудалены от вершины, через которую проходит ось симметрии, но имеют разную длину.
Один из этих отрезков в 6-угольнике совпадает со стороной 6-угольника и его не считаем. И плюс расстояние между противоположными вершинами. Итого 2 разных отрезка. Да еще отрезок - сторона многоугольника. Итого 3 РАЗНЫХ отрезка.
Рассмотрим правильный 7-угольник, у которого ось симметрии пройдет через вершину и середину противоположной стороны. Мы получим те же 2 разных отрезка по одну из сторон оси симметрии плюс отрезок - сторону. Итого - те же 3 разных отрезка.
Итак, построив правильный 7-угольник, мы получили 3 разных отрезка или наоборот, чтобы получить 3 разных числа (отрезка) нам пришлось построить правильный 7-угольник.
Получили формулу: О=(n-1)/2, или наоборот, n=2*O+1,
где О - максимальное количество разных отрезков.
Так как геомтру необходимо получить МАКСИМАЛЬНОЕ число точек, то для получения 40 РАЗНЫХ чисел ему понадобится расположить на окружности 81 точку, построив ПРАВИЛЬНЫЙ 81-угольник.
P.S. Строить правильный 81-угольник сложно. На рисунке для примера дан 21-угольник. Для проверки формулы можете легко построить 8 и 9-угольники или 10 и 11 угольники и сравнить их.
54 камня
Пошаговое объяснение:
х - количество камней, которые в день собирал Гестейн;
у - срок заказа.
Система уравнений:
(x+14)(y-5)=810
x(y-1)=760
xy-5x+14y-70-xy+x=810-760
14y-4x=50+70
14y-4x=120
7y-2x=60
2x=7y-60
x=(7y-60)/2=3,5y-30
(3,5y-30)(y-1)=760
3,5y²-3,5y-30y+30=760
3,5y²-33,5y+30-760=0
3,5y²-33,5y-730=0
0,7y²-6,7y-146=0
D=44,89+408,8=453,69
y1=(6,7-21,3):1,4=-14,6:1,4=-10 3/7 - ответ не подходит условию задачи по смыслу;
y2=(6,7+21,3):1,4=28:1,4=20 дней - срок заказа.
x(20-1)=760
20x-x=760
x=760/19=40 камней в день собирал Гестейн;
40+14=54 камней в день собирал Тиеррий.