Для начала, мы можем разложить функцию в ряд Тейлора. Ряд Тейлора позволяет представить функцию в виде бесконечной суммы мономов, где каждый моном является степенным выражением переменной x.
Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x=0. Используя формулу для разложения экспоненты, мы получим:
=
Теперь, для получения разложения до члена с х^5, нам необходимо остановиться на соответствующем члене с х^5 и проигнорировать следующие члены большего порядка.
Из формулы выше, мы можем заметить, что член х^5 будет присутствовать только тогда, когда n = 3 или n = 4. При n = 4, мы будем иметь моном с х^5, поэтому нам нужно остановиться на этой степени.
О, где O(x^5) - означает все последующие члены с х^5 и выше, которые мы игнорируем.
2. Разложение функции до члена с х^4:
Опять же, мы можем использовать ряд Тейлора для разложения нашей функции. Однако, в этом случае, функция имеет дробную форму, поэтому мы должны применить некоторые алгебраические манипуляции, чтобы получить правильное разложение.
Сначала, мы можем преобразовать дробь следующим образом:
= x \cdot \frac{1}{{e}^{x} - 1}
Теперь, разделим каждую дробь на (e^x - 1), чтобы представить функцию в виде суммы двух рядов:
Теперь, мы можем применить разложение экспоненты (1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ... ) равное e^x, чтобы разложить каждую часть отдельно. Заметим, что мы останавливаемся на х^4, как требуется в вопросе.
Для начала, мы можем разложить функцию в ряд Тейлора. Ряд Тейлора позволяет представить функцию в виде бесконечной суммы мономов, где каждый моном является степенным выражением переменной x.
Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x=0. Используя формулу для разложения экспоненты, мы получим:
Теперь, для получения разложения до члена с х^5, нам необходимо остановиться на соответствующем члене с х^5 и проигнорировать следующие члены большего порядка.
Из формулы выше, мы можем заметить, что член х^5 будет присутствовать только тогда, когда n = 3 или n = 4. При n = 4, мы будем иметь моном с х^5, поэтому нам нужно остановиться на этой степени.
Таким образом, разложение до члена с х^5 будет:
О, где O(x^5) - означает все последующие члены с х^5 и выше, которые мы игнорируем.
2. Разложение функции
Опять же, мы можем использовать ряд Тейлора для разложения нашей функции. Однако, в этом случае, функция имеет дробную форму, поэтому мы должны применить некоторые алгебраические манипуляции, чтобы получить правильное разложение.
Сначала, мы можем преобразовать дробь следующим образом:
Теперь, разделим каждую дробь на (e^x - 1), чтобы представить функцию в виде суммы двух рядов:
x \cdot (\frac{1}{e^{x}} + \frac{1}{e^{2x}} + \frac{1}{e^{3x}} + ... ) \cdot (1 + e^{-x} + e^{-2x} + e^{-3x} + ... )
Затем, мы можем упростить эту сумму, перемножив термы каждого ряда:
x \cdot (\frac{1}{e^{x}} + \frac{1}{e^{2x}} + \frac{1}{e^{3x}} + ... ) + x \cdot (e^{-x} + e^{-2x} + e^{-3x} + ... )
Теперь, мы можем применить разложение экспоненты (1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ... ) равное e^x, чтобы разложить каждую часть отдельно. Заметим, что мы останавливаемся на х^4, как требуется в вопросе.
Для первой части:
x \cdot (\frac{1}{e^{x}} + \frac{1}{e^{2x}} + \frac{1}{e^{3x}} + ... ) = x \cdot (1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!}) + O(x^5)
Для второй части:
x \cdot (e^{-x} + e^{-2x} + e^{-3x} + ... ) = x \cdot (1 - \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!}) + O(x^5)
Теперь, мы можем сложить две части вместе, чтобы получить окончательное разложение до члена с х^4:
О, где O(x^5) - означает все последующие члены с х^5 и выше, которые мы игнорируем.
Это является полным разложением по указанным порядкам для данных функций.