Уравнения, содержащие переменную в показателе степени, называются показательными уравнениями.Простейшие показательные уравнения — это уравнения вида: ax=ay. Отсюда следует равенство: х=у. В самом деле, степени с одинаковыми основаниями могут быть равными только в том случае, если равны показатели этих степеней.Примеры.Решить уравнение:1) 5x=125. Представим число 125 в виде степени числа 5:5x=53; Степени равны, их основания равны, значит, и показатели степеней будут равны:x=3.2) 4x=32. Представим левую и правую части в виде степеней с основанием 2:(22)x=25; используем формулу возведения степени в степень: (ax)y=axy 22x=25;2x=5 |:2x=2,5.3) 32x-1=81. Число 81 представим в виде степени числа 3:32x-1=34; приравняем показатели степеней с одинаковыми основаниями:2x-1=4; решаем простейшее линейное уравнение:2x=4+1;2x=5 |:2;x=2,5.К правой части применяем формулу: (a/b)-x=(b/a)x. Получим равенство степеней с одинаковыми основаниями.Приравниваем показатели степеней и находим х из полученного линейного уравнения.Приравняем показатели степеней с одинаковыми основаниями.Переносим степень из правой части уравнения в левую.Вынесли общий множитель (2х-6) за скобки. Произведение двух или нескольких множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю, а другие при этом значении не теряют смысла. Содержимое каждой из скобок приравниваем к нулю и решаем простейшие уравнения.6) 7∙5x-5x+1=2∙53.Показатели степеней складываются, если степени перемножаются ( ax∙ay=ax+y ), поэтому:7∙5x-5x∙51=2∙53;5x(7-5)=2∙53; вынесли общий множитель за скобки.5x∙2=2∙53 |:25x=53; отсюда следует:x=3.7) 3x+2+4∙3x+1=21. Применим формулу: ax+y=ax∙ay (При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают):3x∙32+4∙3x∙31=21; вынесем общий множитель за скобки:3x(9+12)=21;3x∙21=21 |:213x=1; число 1 можно представлять в виде нулевой степени с любым основанием.3x=30;x=0.51+2x+52x+3=650. Решаем аналогично.51∙52x+52x∙53=650;52x(5+125)=650;52x∙130=650 |:13052x=5; приравняем показатели равных степеней с основаниями 5.2x=1 |:2
Уравнения, содержащие переменную в показателе степени, называются показательными уравнениями.Простейшие показательные уравнения — это уравнения вида: ax=ay. Отсюда следует равенство: х=у. В самом деле, степени с одинаковыми основаниями могут быть равными только в том случае, если равны показатели этих степеней.Примеры.Решить уравнение:1) 5x=125. Представим число 125 в виде степени числа 5:5x=53; Степени равны, их основания равны, значит, и показатели степеней будут равны:x=3.2) 4x=32. Представим левую и правую части в виде степеней с основанием 2:(22)x=25; используем формулу возведения степени в степень: (ax)y=axy 22x=25;2x=5 |:2x=2,5.3) 32x-1=81. Число 81 представим в виде степени числа 3:32x-1=34; приравняем показатели степеней с одинаковыми основаниями:2x-1=4; решаем простейшее линейное уравнение:2x=4+1;2x=5 |:2;x=2,5.К правой части применяем формулу: (a/b)-x=(b/a)x. Получим равенство степеней с одинаковыми основаниями.Приравниваем показатели степеней и находим х из полученного линейного уравнения.Приравняем показатели степеней с одинаковыми основаниями.Переносим степень из правой части уравнения в левую.Вынесли общий множитель (2х-6) за скобки. Произведение двух или нескольких множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю, а другие при этом значении не теряют смысла. Содержимое каждой из скобок приравниваем к нулю и решаем простейшие уравнения.6) 7∙5x-5x+1=2∙53.Показатели степеней складываются, если степени перемножаются ( ax∙ay=ax+y ), поэтому:7∙5x-5x∙51=2∙53;5x(7-5)=2∙53; вынесли общий множитель за скобки.5x∙2=2∙53 |:25x=53; отсюда следует:x=3.7) 3x+2+4∙3x+1=21. Применим формулу: ax+y=ax∙ay (При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают):3x∙32+4∙3x∙31=21; вынесем общий множитель за скобки:3x(9+12)=21;3x∙21=21 |:213x=1; число 1 можно представлять в виде нулевой степени с любым основанием.3x=30;x=0.51+2x+52x+3=650. Решаем аналогично.51∙52x+52x∙53=650;52x(5+125)=650;52x∙130=650 |:13052x=5; приравняем показатели равных степеней с основаниями 5.2x=1 |:2
x=0,5.