В
Все
М
Математика
О
ОБЖ
У
Українська мова
Х
Химия
Д
Другие предметы
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
М
Музыка
Э
Экономика
Ф
Физика
Б
Биология
О
Окружающий мир
У
Українська література
Р
Русский язык
Ф
Французский язык
П
Психология
О
Обществознание
А
Алгебра
М
МХК
Г
География
И
Информатика
П
Право
А
Английский язык
Г
Геометрия
Қ
Қазақ тiлi
Л
Литература
И
История
yaroslav9453
yaroslav9453
16.12.2021 04:48 •  Математика

Напишите все уравнения касательных,выходящих из точки (4,0) к окружности

Показать ответ
Ответ:
kravchenjatkop00zs0
kravchenjatkop00zs0
24.08.2020 11:57

(x-1)^2+y^2=4

Рассмотрим полуокружность, расположенную в верхней полуплоскости. Для нее выразим у:

y^2=4-(x-1)^2

y=\sqrt{4-(x-1)^2}

Необходимо найти касательную к графику функции f(x)=\sqrt{4-(x-1)^2}, проходящую через точку (4;\ 0).

Пусть x_0 - точка касания. Уравнение касательной:

y_k=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)

f(x_0)=\sqrt{4-(x_0-1)^2}

Найдем производную:

f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{4-(x-1)^2}} \cdot(4-(x-1)^2)'=

=\dfrac{1}{2\sqrt{4-(x-1)^2}} \cdot(-2(x-1))=-\dfrac{x-1}{\sqrt{4-(x-1)^2}}

f'(x_0)=-\dfrac{x_0-1}{\sqrt{4-(x_0-1)^2}}

Подставим все величины в уравнение касательной:

y_k=\sqrt{4-(x_0-1)^2}-\dfrac{x_0-1}{\sqrt{4-(x_0-1)^2}}\cdot(x-x_0)

Поскольку касательная проходит через точку (4;\ 0), то подставим координаты этой точки в уравнение:

0=\sqrt{4-(x_0-1)^2}-\dfrac{x_0-1}{\sqrt{4-(x_0-1)^2}}\cdot(4-x_0)

\dfrac{(x_0-1)(4-x_0)}{\sqrt{4-(x_0-1)^2}}=\sqrt{4-(x_0-1)^2}

(x_0-1)(4-x_0)=4-(x_0-1)^2

4x_0-x_0^2-4+x_0=4-x_0^2+2x_0-1

4x_0-4+x_0=4+2x_0-1

3x_0=7

x_0=\dfrac{7}{3}

Значит, уравнение касательной имеет вид:

y_k=\sqrt{4-\left(\dfrac{7}{3} -1\right)^2}-\dfrac{\dfrac{7}{3}-1}{\sqrt{4-\left(\dfrac{7}{3}-1\right)^2}}\left(x-\dfrac{7}{3}\right)

y_k=\sqrt{4-\left(\dfrac{4}{3}\right)^2}-\dfrac{\dfrac{4}{3}}{\sqrt{4-\left(\dfrac{4}{3}\right)^2}}\left(x-\dfrac{7}{3}\right)

y_k=\sqrt{4-\dfrac{16}{9}}-\dfrac{\dfrac{4}{3}}{\sqrt{4-\dfrac{16}{9}}}\left(x-\dfrac{7}{3}\right)

y_k=\sqrt{\dfrac{20}{9}}-\dfrac{\dfrac{4}{3}}{\sqrt{\dfrac{20}{9}}}\left(x-\dfrac{7}{3}\right)

y_k=\dfrac{\sqrt{20} }{3}-\dfrac{4\cdot3}{3\sqrt{20} }\left(x-\dfrac{7}{3}\right)

y_k=\dfrac{\sqrt{20} }{3}-\dfrac{4}{\sqrt{20} }\left(x-\dfrac{7}{3}\right)

y_k=\dfrac{2\sqrt{5} }{3}-\dfrac{4}{2\sqrt{5} }\left(x-\dfrac{7}{3}\right)

y_k=\dfrac{2\sqrt{5} }{3}-\dfrac{2}{\sqrt{5} }\left(x-\dfrac{7}{3}\right)

y_k=\dfrac{2\sqrt{5} }{3}-\dfrac{2}{\sqrt{5} }x+\dfrac{2}{\sqrt{5} }\cdot\dfrac{7}{ 3}\right)

y_k=-\dfrac{2}{\sqrt{5} }x+\dfrac{14}{3\sqrt{5} }+\dfrac{2\sqrt{5} }{3}

y_k=-\dfrac{2\sqrt{5} }{5 }x+\dfrac{14\sqrt{5}+2\sqrt{5}\cdot5 }{3\cdot5 }

y_k=-\dfrac{2\sqrt{5} }{5 }x+\dfrac{14\sqrt{5}+10\sqrt{5}}{3\cdot5 }

y_k=-\dfrac{2\sqrt{5} }{5 }x+\dfrac{24\sqrt{5}}{3\cdot5 }

y_k=-\dfrac{2\sqrt{5} }{5 }x+\dfrac{8\sqrt{5}}{5 }

y_k=-\dfrac{2\sqrt{5} }{5 }\Big(x-4\Big)

Полуокружность y=-\sqrt{4-(x-1)^2}, расположенная в нижней полуплоскости, симметрична относительно рассмотренной относительно оси абсцисс. Значит и касательная к ней будет симметрична:

y_k=\dfrac{2\sqrt{5} }{5 }\Big(x-4\Big)

Таким образом, две касательные задаются уравнением:

y_k=\pm\dfrac{2\sqrt{5} }{5 }\Big(x-4\Big)

0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Математика
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота