Хорошо, давайте рассмотрим задачу по нахождению точки экстремума для функции f(x)=е^x(2х+9).
1. Сначала найдем производную функции f(x). Для этого используем правило производной произведения функций, которое гласит: (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).
Применяя это правило к нашей функции f(x)=е^x(2х+9), получаем:
f'(x) = (е^x)'(2х+9) + е^x(2х+9)'.
2. Найдем производные от составляющих нашей функции:
(е^x)' = е^x (по правилу производной экспоненты)
(2х+9)' = 2 (по правилу производной линейной функции)
3. Вставляем найденные производные обратно в нашу исходную формулу:
f'(x) = е^x * 2х + 9 + е^x * 2.
5. Далее, найдем точки, где производная равна нулю. Это места, где функция меняет свой характер и находятся точки экстремума.
Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:
2е^x (х + 10) = 0.
Решением этого уравнения будут две точки:
- e^x = 0 (при x=ln(0) получаем неопределенность)
- x + 10 = 0 (отсюда получаем x = -10).
6. Для исследования характера точки экстремума находим вторую производную функции:
f''(x) = (2е^x)'(х+10)' = 2е^x.
7. Подставляем найденные значения x во вторую производную:
f''(-10) = 2е^(-10).
8. Определяем характер точки экстремума: если вторая производная больше нуля, то это точка минимума, если меньше нуля - то точка максимума.
В данном случае:
2е^(-10) > 0,
значит, полученная точка экстремума x = -10 является точкой минимума.
Таким образом, точка экстремума функции f(x) = е^x(2х+9) находится при x = -10 и имеет характер минимума.
1. Сначала найдем производную функции f(x). Для этого используем правило производной произведения функций, которое гласит: (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).
Применяя это правило к нашей функции f(x)=е^x(2х+9), получаем:
f'(x) = (е^x)'(2х+9) + е^x(2х+9)'.
2. Найдем производные от составляющих нашей функции:
(е^x)' = е^x (по правилу производной экспоненты)
(2х+9)' = 2 (по правилу производной линейной функции)
3. Вставляем найденные производные обратно в нашу исходную формулу:
f'(x) = е^x * 2х + 9 + е^x * 2.
4. Упростим полученное выражение:
f'(x) = 2е^x (х + 9 + 1).
5. Далее, найдем точки, где производная равна нулю. Это места, где функция меняет свой характер и находятся точки экстремума.
Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:
2е^x (х + 10) = 0.
Решением этого уравнения будут две точки:
- e^x = 0 (при x=ln(0) получаем неопределенность)
- x + 10 = 0 (отсюда получаем x = -10).
6. Для исследования характера точки экстремума находим вторую производную функции:
f''(x) = (2е^x)'(х+10)' = 2е^x.
7. Подставляем найденные значения x во вторую производную:
f''(-10) = 2е^(-10).
8. Определяем характер точки экстремума: если вторая производная больше нуля, то это точка минимума, если меньше нуля - то точка максимума.
В данном случае:
2е^(-10) > 0,
значит, полученная точка экстремума x = -10 является точкой минимума.
Таким образом, точка экстремума функции f(x) = е^x(2х+9) находится при x = -10 и имеет характер минимума.