Задание. Доказать, что сумма трех степеней числа 3 с натуральными идущими подряд показателями, меньший из которых не меньше числа 2, делится без остатка на 117. Решение: Из условия нужно доказать, что делится без остатка на 117 при любом натуральном . Докажем методом математической индукции. 1) Базис индукции (n=2) При получаем , т.е. утверждение справедливо. 2) Допустим, что и при сумма делится на 117. 3) Индукционный переход (n=k+1) По предположению индукции делится на 117. Таким образом, сумму трех степеней числа 3 с натуральными идущими подряд показателями, меньший из которых не меньше 2, делится без остатка на 117.
Решение:
Из условия нужно доказать, что
Докажем методом математической индукции.
1) Базис индукции (n=2)
При
2) Допустим, что и при
3) Индукционный переход (n=k+1)
По предположению индукции
Таким образом, сумму трех степеней числа 3 с натуральными идущими подряд показателями, меньший из которых не меньше 2, делится без остатка на 117.
x - количество кур, у - количество кроликов
{ 2x + 4y = 32
{ x + y = 11
{ x = 11 - y
{ 2(11 - y) + 4y = 32
22 - 2y + 4y = 32
2y = 10
y = 5 x = 11 - 5 = 6
ответ: 6 кур, 5 кроликов.
5).
(3х²– 6х)(4х + 5) – (2х² – 3х)(6х + 3) – 3(х² – 7х – 2) =
= 12x³ - 24x² + 15x² - 30x - (12x³ - 18x² + 6x² - 9x) - 3x² + 21x + 6 =
= 12x³ - 9x² - 30x - 12x³ + 12x² + 9x - 3x² + 21x + 6 =
= 12x³ - 12x³ - 9x² + 9x² - 30x + 30x + 6 = 6
6). Первое число: 1000a + 100b + 10c + d
Второе число: 1000d + 100c + 10b + a
Сумма чисел:
1000a + 100b + 10c + d + 1000d + 100c + 10b + a =
= 1001a + 110b + 110c + 1001d = 11*(91a + 10b + 10c + 91d)
Очевидно, что полученное выражение кратно 11, значит и исходное
выражение кратно 11, что и требовалось доказать.