Найдите число корней уравнения cos(x-π)-cos^2 4x = sin^2 4x- sin(x/2+3π/2) принадлежащих отрезку -π; 4π/3

ответ:  3 корня.

cos(x-π)-cos²4x = sin²4x- sin(x/2+3π/2);

-cosx-cos²4x-sin²4x+sin(x/2+3π/2)=0;

-cosx-1-cos(x/2)=0;

-2cos²x/2-cosx/2=0;

-cosx/2*(2cosx/2+1)=0;

1) cosx/2=0⇒x/2=π/2+πn; n∈Z; x=π+2πn; n∈Z;

2)cosx/2=-1/2;  x/2=±2/3π+2πn; n∈Z; x=±4π/3+4πn; n∈Z;

Найдем корни, принадлежащие [-π;4π/3]

1) x=π+2πn; n∈Z;   -π≤π+2πn≤4π/3;-1≤1+2n≤4/3;-2≤2n≤1/3;-1≤n≤1/6;

n=-1;  x=π-2π=-π;  n=0;  x= π

2) x=±4π/3+4πn; n∈Z; а) x=4π/3+4πn; n∈Z;

-π≤4π/3+4πn≤4π/3;   -1≤4/3+4n≤4/3; n∈Z;   -7/3≤4n≤0;  -7/12≤n≤0; n=0; х=4π/3;

б) x=-4π/3+4πn; n∈Z;

-π≤-4π/3+4πn≤4π/3;   -1≤-4/3+4n ≤4/3; n∈Z;   1/3≤4n≤8/3;  1/12≤n≤2/3;нет корней.

Всего ТРИ корня.