Докажем, что оставшееся на доске число будет нечётным. Посмотрим, как изменяется сумма всех чисел от производимой операции. Пусть сумма чисел до операции равна S, а операция проводится над числами a и b и a ≥ b. Тогда S' = S - a + (a - b) - b = S - 2b. Так как операции нахождения разности проводились над целыми числами, результат будет целым, значит, 2b - чётное число. Изначально сумма всех чисел была равна 2015 * 1007 (нечётное число), значит, после каждой операции она будет оставаться нечётной, откуда последнее оставшееся число будет нечётным. Так как a ≥ b, и a и b - неотрицательные числа, то их разность тоже будет неотрицательна. Значит, число, оставшееся на доске, не будет больше самого большого из изначальных чисел. Тогда наибольшее число, которое могло остаться на доске, равно 2013.
Пример:
Рассмотрим числа k, k+1, k+2, k+3 и k+4. Сперва проведём операцию над числами k+3 и k+4 (получим 1), потом над 1 и k+2 (получим k+1), затем над k+1 и k+1 (получим 0), и, наконец, над k и 0 (получим k). Таким образом мы убираем 4 подряд стоящих числа. Уберём 2012 чисел от 2 до 2013 включительно. Теперь проведём операцию над числами 1 и 2014, получим 2013.
Оценка:
Докажем, что оставшееся на доске число будет нечётным. Посмотрим, как изменяется сумма всех чисел от производимой операции. Пусть сумма чисел до операции равна S, а операция проводится над числами a и b и a ≥ b. Тогда S' = S - a + (a - b) - b = S - 2b. Так как операции нахождения разности проводились над целыми числами, результат будет целым, значит, 2b - чётное число. Изначально сумма всех чисел была равна 2015 * 1007 (нечётное число), значит, после каждой операции она будет оставаться нечётной, откуда последнее оставшееся число будет нечётным. Так как a ≥ b, и a и b - неотрицательные числа, то их разность тоже будет неотрицательна. Значит, число, оставшееся на доске, не будет больше самого большого из изначальных чисел. Тогда наибольшее число, которое могло остаться на доске, равно 2013.
Пример:
Рассмотрим числа k, k+1, k+2, k+3 и k+4. Сперва проведём операцию над числами k+3 и k+4 (получим 1), потом над 1 и k+2 (получим k+1), затем над k+1 и k+1 (получим 0), и, наконец, над k и 0 (получим k). Таким образом мы убираем 4 подряд стоящих числа. Уберём 2012 чисел от 2 до 2013 включительно. Теперь проведём операцию над числами 1 и 2014, получим 2013.
ответ: 2013.
ДУМАЕМ.
1. Радиус окружности равен 5.
2. От прямой из точки М надо построить перпендикуляр и найти точку на расстоянии R = √5. Таких точек будет две. Рисунок к задаче в приложении.
РЕШЕНИЕ
Уравнение окружности: (x-a)² + (y-b)² = R² = 5. (R ≈ 2.24) - надо найти координаты центра окружности - О(a,b)
1) Уравнение касательной: x - 2*y - 1 = 0 - преобразуем.
2*y = x - 1 и y = 0.5*x - 0.5 = k*x + b.
2) Уравнение перпендикуляра (радиуса)
у = - 2*х (+7 не влияет).
Отношение катетов 1 к 2. Вспоминаем теорему Пифагора.
Катеты оказались равными 1 и 2.
Находим координаты центра окружностей. Пишем уравнения окружностей.
Расчет - ОТВЕТ - на рисунке в приложении.