На самом деле такое число найдётся для любой натуральной степени .
Я утверждаю, что для всех k найдётся число, состоящее из k цифр, не содержащее нулей в десятичной записи и делящееся на .
Доказываем по индукции.
База индукции. Для k = 1 подходит .
Индукционный переход. Пусть длина числа равна k, десятичная запись этого числа не содержит нулей. Припишем к этому числу слева ненулевую цифру a и потребуем, чтобы получившееся число делилось на .
Получившееся число равно , оно будет делиться на , если делится на 5.
при делении на 5 может давать остатки 1, 2, 3 и 4; n может давать любые остатки от 0 до 4. Ниже в таблице я явно выписываю, какие можно взять a для каждой комбинации остатков. Например, если n даёт остаток 3 при делении на 5; даёт остаток 4 при делении на 2, то можно взять a = 3: тогда даёт такой же остаток при делении на 5, что и .
Таким образом, если для k такое число найдётся, то и для k + 1, а значит, и для всех k, в том числе и для k = 1987.
Вот, например, числа, построенные для k от 1 до 20:
уже много десятилетий с того 9 мая, когда закончилась Вторая мировая война. Мы, современная молодежь, даже представить не можем всех ее ужасов. И это хорошо. Нам очень повезло жить в мирное время, иметь много возможностей в жизни. Мы знаем о войне из рассказов стариков и из книг по истории. А для миллионов людей эти страшный события были реальностью.
Война принесла много горя. Наверно, в каждой семье потеряли любимых людей, у многих из них даже нет могилы… Молодые парни погибали в страшных боях, не попробовав как следует жизни. Дети военных лет не могли и думать о красивых игрушках. Они не могли даже нормально ходить в школу. Многие из них остались сиротами. А с войны возвращались калеки, не только с ранами на теле, но и с болью в душе.
Но война открывала в людях и много хорошего. Все старались друг другу в сложных обстоятельствах. Ради того, чтобы освободить родную землю от захватчиков, люди совершали подвиги, жертвуя своей жизнью. А прабабушка рассказывала, что в оккупированном городе немецкие солдаты подкармливали наших детей. Бабушка говорила, что война ужасна именно потому, что в ней участвуют и погибают люди, не испытывающие ненависти друг к другу.
Поэтому 9 мая – День Победы – праздник и светлый, и грустный одновременно. С одной стороны, наша армия одержала победу, освободила нашу страну. Но все это очень дорогой ценой – миллионов жизней, рек слез и множества искалеченных судеб. Поблагодарить ветеранов – живых и почивших – за их подвиг в День Победы – самое малое, что мы можем сделать. Мы должны помнить тех, благодаря кому теперь живем в мире. Это нам выучить горький урок истории и никогда не повторять его.
Узды инде бик күп дистә еллар белән моннан тыш, 9 май, кайчан тәмамланды Икенче бөтендөнья сугышы. Без, хәзерге яшьләр, хәтта күз алдына да китерә алмыйбыз барлык аны ужасов. Һәм бу бик яхшы. Безгә бик бәхетле яшәргә тыныч вакытта, ия булырга бик күп мөмкинлекләр тормыш. Без сугыш турында нәрсә беләбез бер хикәя карт һәм китап тарихы буенча. Ә миллионлаган кешеләр өчен бу куркыныч вакыйга иде тормышка ашырылды. Сугыш алып килде күп горя. Расих, һәр гаиләдә югалттык яраткан кешеләрнең күбесенең хәтта кабере юк... Яшь егетләр погибали бу куркыныч сугышларда, попробовав күренгәнчә тормыш. Сугыш чоры балалары алмадык һәм уйларга турында матур игрушках. Алар алмадык хәтта нормаль йөрергә мәктәпкә. Аларның күбесе калды сиротами. Ә сугыштан кайтмадылар калеки, белән генә түгел, ранами тәнендә белән дә болью ятты. Әмма сугыш открывала кешеләрдә һәм бик күп яхшы. Барыбыз да ярдәм итәргә тырыштык, бер-берсенә катлаулы хђл. Хакына алсын азат итәргә туган җире нче илбасарларына, кешеләр совершали батырлыклар, жертвуя үз тормышы. Ә прабабушка дип сөйләде, дип оккупированном шәһәрендә немец солдатлары подкармливали безнең балалар. Әби сөйләде, дип, сугыш ужасна нәкъ менә чөнки анда катнашалар һәм үлә кешеләр түгел испытывающие нәфрәт, бер-береңә. Шуңа күрә, 9 май – Җиңү Көне – бәйрәм якты, моңсу, бер үк вакытта. Бер яктан, безнең армия җиңү яулады, освободила илебезне. Ләкин болар барысы да бик кадерле кыйммәт – миллион кешенең гомерен, елгалар слез һәм бик күп искалеченных судеб. Рәхмәт ветераннар – тере һәм почивших – аларның батырлыгы " Җиңү Көне – иң кече, без нәрсә эшли алабыз. Без шуны истә тотарга тиешбез-кешеләр ярдәмендә кемгә хәзер дөньяда яшибез. Бу ярдәм итәчәк выучить горький дәресе тарихы һәм беркайчан да повторять аның.
Существует
Пошаговое объяснение:
На самом деле такое число найдётся для любой натуральной степени
.
Я утверждаю, что для всех k найдётся число, состоящее из k цифр, не содержащее нулей в десятичной записи и делящееся на
.
Доказываем по индукции.
База индукции. Для k = 1 подходит
.
Индукционный переход. Пусть длина числа
равна k, десятичная запись этого числа не содержит нулей. Припишем к этому числу слева ненулевую цифру a и потребуем, чтобы получившееся число делилось на 
.
Получившееся число равно
, оно будет делиться на 
, если делится на 5.
Таким образом, если для k такое число найдётся, то и для k + 1, а значит, и для всех k, в том числе и для k = 1987.
Вот, например, числа, построенные для k от 1 до 20:
5 25 125 3125 53125 453125 4453125 14453125 314453125 2314453125 22314453125 122314453125 4122314453125 44122314453125 444122314453125 4444122314453125 54444122314453125 254444122314453125 1254444122314453125 21254444122314453125Например, число 21254444122314453125 делится на
и не содержит нулей :)
уже много десятилетий с того 9 мая, когда закончилась Вторая мировая война. Мы, современная молодежь, даже представить не можем всех ее ужасов. И это хорошо. Нам очень повезло жить в мирное время, иметь много возможностей в жизни. Мы знаем о войне из рассказов стариков и из книг по истории. А для миллионов людей эти страшный события были реальностью.
Война принесла много горя. Наверно, в каждой семье потеряли любимых людей, у многих из них даже нет могилы… Молодые парни погибали в страшных боях, не попробовав как следует жизни. Дети военных лет не могли и думать о красивых игрушках. Они не могли даже нормально ходить в школу. Многие из них остались сиротами. А с войны возвращались калеки, не только с ранами на теле, но и с болью в душе.
Но война открывала в людях и много хорошего. Все старались друг другу в сложных обстоятельствах. Ради того, чтобы освободить родную землю от захватчиков, люди совершали подвиги, жертвуя своей жизнью. А прабабушка рассказывала, что в оккупированном городе немецкие солдаты подкармливали наших детей. Бабушка говорила, что война ужасна именно потому, что в ней участвуют и погибают люди, не испытывающие ненависти друг к другу.
Поэтому 9 мая – День Победы – праздник и светлый, и грустный одновременно. С одной стороны, наша армия одержала победу, освободила нашу страну. Но все это очень дорогой ценой – миллионов жизней, рек слез и множества искалеченных судеб. Поблагодарить ветеранов – живых и почивших – за их подвиг в День Победы – самое малое, что мы можем сделать. Мы должны помнить тех, благодаря кому теперь живем в мире. Это нам выучить горький урок истории и никогда не повторять его.
Узды инде бик күп дистә еллар белән моннан тыш, 9 май, кайчан тәмамланды Икенче бөтендөнья сугышы. Без, хәзерге яшьләр, хәтта күз алдына да китерә алмыйбыз барлык аны ужасов. Һәм бу бик яхшы. Безгә бик бәхетле яшәргә тыныч вакытта, ия булырга бик күп мөмкинлекләр тормыш. Без сугыш турында нәрсә беләбез бер хикәя карт һәм китап тарихы буенча. Ә миллионлаган кешеләр өчен бу куркыныч вакыйга иде тормышка ашырылды.
Сугыш алып килде күп горя. Расих, һәр гаиләдә югалттык яраткан кешеләрнең күбесенең хәтта кабере юк... Яшь егетләр погибали бу куркыныч сугышларда, попробовав күренгәнчә тормыш. Сугыш чоры балалары алмадык һәм уйларга турында матур игрушках. Алар алмадык хәтта нормаль йөрергә мәктәпкә. Аларның күбесе калды сиротами. Ә сугыштан кайтмадылар калеки, белән генә түгел, ранами тәнендә белән дә болью ятты.
Әмма сугыш открывала кешеләрдә һәм бик күп яхшы. Барыбыз да ярдәм итәргә тырыштык, бер-берсенә катлаулы хђл. Хакына алсын азат итәргә туган җире нче илбасарларына, кешеләр совершали батырлыклар, жертвуя үз тормышы. Ә прабабушка дип сөйләде, дип оккупированном шәһәрендә немец солдатлары подкармливали безнең балалар. Әби сөйләде, дип, сугыш ужасна нәкъ менә чөнки анда катнашалар һәм үлә кешеләр түгел испытывающие нәфрәт, бер-береңә.
Шуңа күрә, 9 май – Җиңү Көне – бәйрәм якты, моңсу, бер үк вакытта. Бер яктан, безнең армия җиңү яулады, освободила илебезне. Ләкин болар барысы да бик кадерле кыйммәт – миллион кешенең гомерен, елгалар слез һәм бик күп искалеченных судеб. Рәхмәт ветераннар – тере һәм почивших – аларның батырлыгы " Җиңү Көне – иң кече, без нәрсә эшли алабыз. Без шуны истә тотарга тиешбез-кешеләр ярдәмендә кемгә хәзер дөньяда яшибез. Бу ярдәм итәчәк выучить горький дәресе тарихы һәм беркайчан да повторять аның.