Найдите максимум прибыли, если доход и издержки определяются следующими формулами соответственно: R( x) = 100х − х^2, C(x ) =x^ 3 − 37 x^2 + 169x + 4000, где x− количество реализованного товара.

Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, стягиваемой хордой.
∠BOC= 1/2 U OC

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.
∠ODE= 1/2 U OC

∠BOC=∠ODE => △BOC~△ODE (прямоугольные т. с равными острыми углами)
OC/OD=BC/OE

Аналогично ∠OCE=∠AOD => △OCE~△AOD
OC/OD=OE/AD

BC/OE=OE/AD <=> OE= √(BC*AD) =√(12*48) =24

-------------------------------------------------------------------------------------------------------
P.S. Частный случай, когда центр окружности находится на CD:
△BOC=△OCE (диаметр, перпендикулярный к хорде, делит хорду и стягиваемые ею дуги пополам: U OC=U CO1, ∠BOC=COE), △AOD=△ODE, BC=CE, AD=ED. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой. ∠COD=90. Высота, проведенная из вершины прямого угла, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу. OE= √(CE*ED) = √(BC*AD).

Сделаем подстановку 
sin(3x-2)=2tg[(3x-2)/2]/(1+tg²[(3x-2)/2]) 
cos(3x-2)=(1-tg²[(3x-2)/2]) /(1+tg²[(3x-2)/2]) 
Заменим tg[(3x-2)/2]=a
4a/(1+a²)+3(1-a²)/(1+a²)=√13
приведем к общему знаменателю
4a+3-3a²=√13+√13a²
получим квадратное уравнение
a²(√13+3)-4a+(√13-3)=0
D=16-4(√13-3)(√13+3)=16-4*(13-9)=16-4*4=16-16=0
a=4/2(√13+3)=2/(√13+3)=2(√13-3)/(√13-3)(√13+3)=2(√13-3)/(13-9)=
=2(√13-3)/4=(√13-3)/2
Значит tg[(3x-2)/2]=(√13-3)/2
(3x-2)/2=arctg(√13-3)/2+πk
3x-2=2arctg(√13-3)/2+πk
3x=2+2arctg(√13-3)/2+πk
x=2/3+2/3*arctg(√13-3)/2+πk/3,k∈z