Для нахождения наибольшего или наименьшего значения выражения, мы должны найти вершину параболы, представляющей данное выражение.
а) В выражении x^2- 6x+ 4 у нас есть множитель x^2 с положительным коэффициентом. Из этого следует, что у параболы, представленной данным выражением, ветви будут направлены вверх и она будет иметь наименьшее значение в вершине параболы.
Чтобы найти вершину параболы, можем использовать формулу x = -b / (2a), где a и b - коэффициенты перед x в выражении. В нашем случае, a = 1, b = -6, поэтому x = -(-6) / (2*1) = 6/2 = 3.
Теперь, чтобы найти значение выражения в этой точке, подставим x = 3 в исходное выражение: 3^2 - 6*3 + 4 = 9 - 18 + 4 = -5.
Следовательно, наименьшее значение выражения x^2- 6x+ 4 равно -5.
б) В выражении x^2+ 7x- 11 у нас также есть множитель x^2 с положительным коэффициентом. Значит, парабола будет направлена вверх и иметь наименьшее значение в вершине.
Используя формулу для нахождения x-координаты вершины параболы, получаем x = -b / (2a), где a = 1, b = 7. Подставляя значения, получаем x = -7 / (2*1) = -7/2.
Таким образом, наименьшее значение выражения x^2+ 7x- 11 равно 5/4.
в) В выражении 3x^2 +5x -1 наибольшее или наименьшее значение будут иметь у параболы в зависимости от знака коэффициента 3 перед x^2. Если коэффициент положительный, то наименьшее значение будет в вершине параболы. Если коэффициент отрицательный, то наибольшее значение будет в вершине.
В нашем случае, коэффициент перед x^2 положительный, поэтому наименьшее значение будет в вершине параболы.
Используя формулу для нахождения x-координаты вершины параболы, получаем x = -b / (2a), где a = 3, b = 5. Подставляя значения, получаем x = -5 / (2*3) = -5/6.
Таким образом, наименьшее значение выражения 3x^2 +5x -1 равно -161/36.
г) В выражении -x^2 -6x +12 коэффициент перед x^2 отрицательный, поэтому наибольшее значение будет в вершине параболы.
Используя формулу для нахождения x-координаты вершины параболы, получаем x = -b / (2a), где a = -1, b = -6. Подставляя значения, получаем x = -(-6) / (2*(-1)) = 6 / 2 = 3.
Подставляем x = 3 в выражение: -(3)^2 - 6*3 + 12 = -9 - 18 + 12 = -15.
Таким образом, наибольшее значение выражения -x^2 -6x +12 равно -15.
д) В выражении -3x^2 +4x+4 коэффициент перед x^2 отрицательный, поэтому наибольшее значение будет в вершине параболы.
Используя формулу для нахождения x-координаты вершины параболы, получаем x = -b / (2a), где a = -3, b = 4. Подставляя значения, получаем x = -4 / (2*(-3)) = 4 / 6 = 2/3.
Таким образом, наибольшее значение выражения -3x^2 +4x+4 равно 16/3.
е) В выражении -7x^2 +x +1 коэффициент перед x^2 отрицательный, поэтому наибольшее значение будет в вершине параболы.
Используя формулу для нахождения x-координаты вершины параболы, получаем x = -b / (2a), где a = -7, b = 1. Подставляя значения, получаем x = -1 / (2*(-7)) = 1 / 14.
Подставляем x = 1/14 в выражение: -7*(1/14)^2 + (1/14) + 1 = -1/14 + 1/14 + 1 = 1.
Таким образом, наибольшее значение выражения -7x^2 +x +1 равно 1.
В итоге, наибольшие или наименьшие значения выражений:
а) В выражении x^2- 6x+ 4 у нас есть множитель x^2 с положительным коэффициентом. Из этого следует, что у параболы, представленной данным выражением, ветви будут направлены вверх и она будет иметь наименьшее значение в вершине параболы.
Чтобы найти вершину параболы, можем использовать формулу x = -b / (2a), где a и b - коэффициенты перед x в выражении. В нашем случае, a = 1, b = -6, поэтому x = -(-6) / (2*1) = 6/2 = 3.
Теперь, чтобы найти значение выражения в этой точке, подставим x = 3 в исходное выражение: 3^2 - 6*3 + 4 = 9 - 18 + 4 = -5.
Следовательно, наименьшее значение выражения x^2- 6x+ 4 равно -5.
б) В выражении x^2+ 7x- 11 у нас также есть множитель x^2 с положительным коэффициентом. Значит, парабола будет направлена вверх и иметь наименьшее значение в вершине.
Используя формулу для нахождения x-координаты вершины параболы, получаем x = -b / (2a), где a = 1, b = 7. Подставляя значения, получаем x = -7 / (2*1) = -7/2.
Подставляем x = -7/2 в выражение: (-7/2)^2 + 7*(-7/2) - 11 = 49/4 - 49/2 - 11 = (-49 + 98 - 44) / 4 = 5/4.
Таким образом, наименьшее значение выражения x^2+ 7x- 11 равно 5/4.
в) В выражении 3x^2 +5x -1 наибольшее или наименьшее значение будут иметь у параболы в зависимости от знака коэффициента 3 перед x^2. Если коэффициент положительный, то наименьшее значение будет в вершине параболы. Если коэффициент отрицательный, то наибольшее значение будет в вершине.
В нашем случае, коэффициент перед x^2 положительный, поэтому наименьшее значение будет в вершине параболы.
Используя формулу для нахождения x-координаты вершины параболы, получаем x = -b / (2a), где a = 3, b = 5. Подставляя значения, получаем x = -5 / (2*3) = -5/6.
Подставляем x = -5/6 в выражение: 3*(-5/6)^2 + 5*(-5/6) - 1 = 25/36 - 25/6 - 1 = (25 - 150 - 36) / 36 = -161/36.
Таким образом, наименьшее значение выражения 3x^2 +5x -1 равно -161/36.
г) В выражении -x^2 -6x +12 коэффициент перед x^2 отрицательный, поэтому наибольшее значение будет в вершине параболы.
Используя формулу для нахождения x-координаты вершины параболы, получаем x = -b / (2a), где a = -1, b = -6. Подставляя значения, получаем x = -(-6) / (2*(-1)) = 6 / 2 = 3.
Подставляем x = 3 в выражение: -(3)^2 - 6*3 + 12 = -9 - 18 + 12 = -15.
Таким образом, наибольшее значение выражения -x^2 -6x +12 равно -15.
д) В выражении -3x^2 +4x+4 коэффициент перед x^2 отрицательный, поэтому наибольшее значение будет в вершине параболы.
Используя формулу для нахождения x-координаты вершины параболы, получаем x = -b / (2a), где a = -3, b = 4. Подставляя значения, получаем x = -4 / (2*(-3)) = 4 / 6 = 2/3.
Подставляем x = 2/3 в выражение: -3(2/3)^2 + 4*(2/3) + 4 = -12/9 + 8/3 + 4 = (-12 + 24 + 36)/9 = 48/9 = 16/3.
Таким образом, наибольшее значение выражения -3x^2 +4x+4 равно 16/3.
е) В выражении -7x^2 +x +1 коэффициент перед x^2 отрицательный, поэтому наибольшее значение будет в вершине параболы.
Используя формулу для нахождения x-координаты вершины параболы, получаем x = -b / (2a), где a = -7, b = 1. Подставляя значения, получаем x = -1 / (2*(-7)) = 1 / 14.
Подставляем x = 1/14 в выражение: -7*(1/14)^2 + (1/14) + 1 = -1/14 + 1/14 + 1 = 1.
Таким образом, наибольшее значение выражения -7x^2 +x +1 равно 1.
В итоге, наибольшие или наименьшие значения выражений:
а) -5;
б) 5/4;
в) -161/36;
г) -15;
д) 16/3;
е) 1.