Найдите наименьшее значение функции y=7x-ln(x+4)^7 на отрезке (-3,5; 0)

y’=

Найдем точки экстремум:

ОДЗ:

x≠-4

Подставим значения краев данных отрезков и точку экстремум:

______

______

Соответственно наименьшее значение данная функция на заданном отрезке принимает в точке (-3) и оно равняется -21.

ответ: -21

-21

Пошаговое объяснение:

Найдите наименьшее значение функции y=7·x-ln(x+4)⁷ на отрезке [-3,5;0].

1) ОДЗ: x+4>0 ⇔ x>-4 ⇔ x∈(-4; +∞). Отрезок [-3,5;0] является подмножеством (-4; +∞).

2) Находим производную от функции y=7·x-ln(x+4)⁷ = 7·x-7·ln(x+4):

3) Находим критические точки из отрезка [-3,5;0] . Для этого находим нули производной:

4) Вычислим значения функции при x= -3,5, x= -3, x= 0:

y(-3,5)=7·(-3,5)-7·ln(-3,5+4)= -24,5-7·ln0,5

y(-3)=7·(-3)-7·ln(-3+4)= -21-7·ln1= -21

y(0)=7·0-7·ln(0+4)= -7·ln4

5) Сравним значения функции при x= -3,5, x= -3, x= 0 и определим наименьшее:

y(0)-y(-3,5) = -7·ln4-(-24,5-7·ln0,5) = -7·ln4+24,5+7·ln0,5 = -7·ln4+24,5-7·ln2 =

= 24,5-7·(ln4+ln2) = 24,5-7·ln8 = 24,5-7·ln8 > 24,5-7·lne³ = 24,5-7·3=3,5>0,

то есть y(0) > y(-3,5);

y(0)-y(-3) = -7·ln4-(-21) = 21-7·ln4 = 21-7·lne² = 21-7·2=7>0,

то есть y(0) > y(-3);

y(-3)-y(-3,5) = -21-(-24,5-7·ln0,5) = -21+24,5+7·ln0,5=3,5-7·ln2=3,5·lne-7·ln2=

= 3,5·(lne-ln2²) = 3,5·(lne-ln4) = 3,5·ln(e/4) = -3,5·ln(4/e) <0,

то есть y(-3) < y(-3,5).

Отсюда:

y(-3) < y(-3,5) < y(0)

и наименьшее значение функции равен -21.