xy'-3y=(x^4)*(e^x) y'-3y/x=(x^3)*(e^x) // поделили на x, x=0 не является решением
1) рассматриваем "однородное" уравнение y'-(3/x)*y=0 dy/dx=3y/x //переходим к дифференциальной записи dy/y=3dx/x //поделили на y и x // интегрируем и получаем ln|y| = 3ln(|x|*C) y (частное) = C*x^3 // получили частное решение дифференциального уравнения
2) а теперь начинаем работу непосредственно с постоянной y=C(x)*x^3 y' = C'(x)(x^3) + 3*(x^2)*C(x) // посчитали производную // подставим в исходное C'(x)(x^3) + 3*(x^2)*C(x) - (3/x)*C(x)*(x^3) = (x^3)*e^x // привели подобные, получили: C'(x)*(x^3) = (x^3)*e^x C'(x) = e^x // поделили на x^3 // берем интеграл C(x) = e^x + C1 // решение нашего уравнения: y = (e^x + C1)*x^3 // теперь вспоминаем о задаче Коши. Подставляем: 4 = (e^2 + C1)*2^3 C1 = 1/2 - e^2 // Окончательный ответ: y = (e^x +1/2 - e^2 )*x^3
y'-3y/x=(x^3)*(e^x) // поделили на x, x=0 не является решением
1) рассматриваем "однородное" уравнение
y'-(3/x)*y=0
dy/dx=3y/x //переходим к дифференциальной записи
dy/y=3dx/x //поделили на y и x
// интегрируем и получаем
ln|y| = 3ln(|x|*C)
y (частное) = C*x^3 // получили частное решение дифференциального уравнения
2) а теперь начинаем работу непосредственно с постоянной
y=C(x)*x^3
y' = C'(x)(x^3) + 3*(x^2)*C(x) // посчитали производную
// подставим в исходное
C'(x)(x^3) + 3*(x^2)*C(x) - (3/x)*C(x)*(x^3) = (x^3)*e^x
// привели подобные, получили:
C'(x)*(x^3) = (x^3)*e^x
C'(x) = e^x // поделили на x^3
// берем интеграл
C(x) = e^x + C1
// решение нашего уравнения:
y = (e^x + C1)*x^3
// теперь вспоминаем о задаче Коши. Подставляем:
4 = (e^2 + C1)*2^3
C1 = 1/2 - e^2
// Окончательный ответ:
y = (e^x +1/2 - e^2 )*x^3