а) Для функции f(x) = √7
Чтобы найти первообразную этой функции, мы будем использовать правило взятия интеграла степенной функции. У нас есть корень, который можно записать как степень с половиной показателем, поэтому мы можем использовать правило для функции x^n:
∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C
Применяя это правило к нашей функции, получаем:
∫(√7) dx = (√7*(x^(1/2))) / (1/2+1) + C
= 2*(√7)*(x^(1/2)) + C
Итак, первообразная функции f(x) = √7 равна 2*(√7)*(x^(1/2)) + C, где С - произвольная постоянная.
б) Для функции f(x) = x^11
В данном случае у нас есть степенная функция с показателем 11. Мы можем использовать правило для функции x^n и найти первообразную:
∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C
Применяя это правило к нашей функции, получаем:
∫x^11 dx = (x^(11+1))/(11+1) + C
= (x^12)/12 + C
Итак, первообразная функции f(x) = x^11 равна (x^12)/12 + C, где С - произвольная постоянная.
в) Для функции f(x) = x^8 + 3x^7 - 5x + 2
У нас есть функция, представленная в виде суммы нескольких слагаемых. Мы можем поочередно интегрировать каждое слагаемое, используя правило для функции x^n.
Давайте найдем первообразную для каждого слагаемого по отдельности:
∫x^8 dx = (x^(8+1))/(8+1) + C
= (x^9)/9 + C
∫3x^7 dx = 3 * (∫x^7 dx) = 3 * ((x^(7+1))/(7+1) + C)
= 3 * ((x^8)/8) + C
= (3x^8)/8 + C
∫-5x dx = -5 * (∫x dx) = -5 * ((x^(1+1))/(1+1) + C)
= -5 * ((x^2)/2) + C
= -5x^2/2 + C
∫2 dx = 2 * x + C
Теперь объединим все полученные интегралы:
∫(x^8 + 3x^7 - 5x + 2) dx = (x^9)/9 + (3x^8)/8 - (5x^2)/2 + 2x + C
Итак, первообразная функции f(x) = x^8 + 3x^7 - 5x + 2 равна (x^9)/9 + (3x^8)/8 - (5x^2)/2 + 2x + C, где С - произвольная постоянная.
г) Для функции f(x) = (4x-5)^2
У нас есть функция, возведенная в квадрат. Чтобы найти первообразную, мы можем использовать формулу для квадрата бинома, которая гласит:
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
Применим эту формулу к нашей функции:
(4x-5)^2 = (4x)^2 + 2*(4x)*(-5) + (-5)^2
= 16x^2 - 40x + 25
Теперь найдем интеграл каждого слагаемого:
∫16x^2 dx = 16 * (∫x^2 dx) = 16 * ((x^(2+1))/(2+1) + C)
= 16 * ((x^3)/3) + C
= (16x^3)/3 + C
∫-40x dx = -40 * (∫x dx) = -40 * ((x^(1+1))/(1+1) + C)
= -40 * ((x^2)/2) + C
= -20x^2 + C
∫25 dx = 25 * x + C
Теперь объединим все полученные интегралы:
∫(4x-5)^2 dx = (16x^3)/3 - 20x^2 + 25x + C
Итак, первообразная функции f(x) = (4x-5)^2 равна (16x^3)/3 - 20x^2 + 25x + C, где С - произвольная постоянная.
Я надеюсь, что данное объяснение помогло вам понять процесс нахождения первообразной для данных функций. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, задавайте.
а) Для функции f(x) = √7
Чтобы найти первообразную этой функции, мы будем использовать правило взятия интеграла степенной функции. У нас есть корень, который можно записать как степень с половиной показателем, поэтому мы можем использовать правило для функции x^n:
∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C
Применяя это правило к нашей функции, получаем:
∫(√7) dx = (√7*(x^(1/2))) / (1/2+1) + C
= 2*(√7)*(x^(1/2)) + C
Итак, первообразная функции f(x) = √7 равна 2*(√7)*(x^(1/2)) + C, где С - произвольная постоянная.
б) Для функции f(x) = x^11
В данном случае у нас есть степенная функция с показателем 11. Мы можем использовать правило для функции x^n и найти первообразную:
∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C
Применяя это правило к нашей функции, получаем:
∫x^11 dx = (x^(11+1))/(11+1) + C
= (x^12)/12 + C
Итак, первообразная функции f(x) = x^11 равна (x^12)/12 + C, где С - произвольная постоянная.
в) Для функции f(x) = x^8 + 3x^7 - 5x + 2
У нас есть функция, представленная в виде суммы нескольких слагаемых. Мы можем поочередно интегрировать каждое слагаемое, используя правило для функции x^n.
Давайте найдем первообразную для каждого слагаемого по отдельности:
∫x^8 dx = (x^(8+1))/(8+1) + C
= (x^9)/9 + C
∫3x^7 dx = 3 * (∫x^7 dx) = 3 * ((x^(7+1))/(7+1) + C)
= 3 * ((x^8)/8) + C
= (3x^8)/8 + C
∫-5x dx = -5 * (∫x dx) = -5 * ((x^(1+1))/(1+1) + C)
= -5 * ((x^2)/2) + C
= -5x^2/2 + C
∫2 dx = 2 * x + C
Теперь объединим все полученные интегралы:
∫(x^8 + 3x^7 - 5x + 2) dx = (x^9)/9 + (3x^8)/8 - (5x^2)/2 + 2x + C
Итак, первообразная функции f(x) = x^8 + 3x^7 - 5x + 2 равна (x^9)/9 + (3x^8)/8 - (5x^2)/2 + 2x + C, где С - произвольная постоянная.
г) Для функции f(x) = (4x-5)^2
У нас есть функция, возведенная в квадрат. Чтобы найти первообразную, мы можем использовать формулу для квадрата бинома, которая гласит:
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
Применим эту формулу к нашей функции:
(4x-5)^2 = (4x)^2 + 2*(4x)*(-5) + (-5)^2
= 16x^2 - 40x + 25
Теперь найдем интеграл каждого слагаемого:
∫16x^2 dx = 16 * (∫x^2 dx) = 16 * ((x^(2+1))/(2+1) + C)
= 16 * ((x^3)/3) + C
= (16x^3)/3 + C
∫-40x dx = -40 * (∫x dx) = -40 * ((x^(1+1))/(1+1) + C)
= -40 * ((x^2)/2) + C
= -20x^2 + C
∫25 dx = 25 * x + C
Теперь объединим все полученные интегралы:
∫(4x-5)^2 dx = (16x^3)/3 - 20x^2 + 25x + C
Итак, первообразная функции f(x) = (4x-5)^2 равна (16x^3)/3 - 20x^2 + 25x + C, где С - произвольная постоянная.
Я надеюсь, что данное объяснение помогло вам понять процесс нахождения первообразной для данных функций. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, задавайте.