Заметим, что с каждым последующим увеличением степени на 1 в результате будут прибавляться одна 9 перед 8 и один ноль после 8.
Чтобы вычислить сумму цифр числа, состоящего из 100 девяток (999999)², сначала запишем цифры 8 и 1, а затем перед восьмеркой впишем столько девяток, а перед единицей столько нулей, из скольких девяток без одной составлено число, возводимое в квадрат:
Так как цифрой числа (999...999)² является 9 и их 100, то получим следующую сумму:
14•7 = 98 - не трехзначное число 15•7 = 105 - первое трёхзначное, но кратное 5 1) Трехзначные числа, которые делятся на 7 и 5, кратны 35 - это последовательность: 105, 140, 175 ... 980 - арифметическая прогрессия, где а1 = 105, аn = 980, d= 35 an = a1 + d•(n-1) 980 = 105 + 35 • (n-1) 35(n-1) = 980 - 105 35(n-1) = 875 n - 1 = 875 : 35 n - 1 = 25 n = 25 + 1 n = 26 - всего членов в прогрессии. Sn = (a1 + an) • n / 2 Sn = (105 + 980) • 26/2 = 1085 •13 = 14105 - сумма всех трехзначных членов прогрессии, кратных 7 и 5 одновременно.
2) Все трехзначные числа, которые делятся на 7 (включая те, которые делятся на 5)п представляют собой арифметическую прогрессию, где а1 = 112 , an = 994, d = 7 112, 119, 126... 994 an = a1 + d•(n-1) 994 = 112 + 7 • n-1) 7•(n-1) = 994 - 112 7•(n-1) = 882 n - 1 = 882 : 7 n - 1 = 126 n = 126 + 1 n = 127 - всего членов в прогрессии. Sn = (a1 + an) • n / 2 Sn = (112 + 994) • 127/2 Sn = 1106 • 127 /2 = 70231 - сумма всех трехзначных членов прогрессии, кратных 7.
3) 70231 - 14105 = 56126 - сумма всех трехзначных чисел, кратных 7, но не кратных 5.
900
Пошаговое объяснение:
Возведение в квадрат чисел, составленных из одних девяток:
9² = 81 8 + 1 = 9 - сумма цифр числа 9²
99² = 9801 9 + 8 + 0 + 1 = 18 - сумма цифр числа 99²
999² = 998001 9 + 9 + 8 + 0 + 0 + 1 = 27 - сумма цифр 999² и т.д.
Заметим, что с каждым последующим увеличением степени на 1 в результате будут прибавляться одна 9 перед 8 и один ноль после 8.
Чтобы вычислить сумму цифр числа, состоящего из 100 девяток (999999)², сначала запишем цифры 8 и 1, а затем перед восьмеркой впишем столько девяток, а перед единицей столько нулей, из скольких девяток без одной составлено число, возводимое в квадрат:
Так как цифрой числа (999...999)² является 9 и их 100, то получим следующую сумму:
9*99 + 8 + 0*99 + 1 = 891 + 8 + 0 + 1 = 900 - сумма цифр
15•7 = 105 - первое трёхзначное, но кратное 5
1) Трехзначные числа, которые делятся на 7 и 5, кратны 35 - это последовательность:
105, 140, 175 ... 980 - арифметическая прогрессия, где а1 = 105, аn = 980, d= 35
an = a1 + d•(n-1)
980 = 105 + 35 • (n-1)
35(n-1) = 980 - 105
35(n-1) = 875
n - 1 = 875 : 35
n - 1 = 25
n = 25 + 1
n = 26 - всего членов в прогрессии.
Sn = (a1 + an) • n / 2
Sn = (105 + 980) • 26/2 = 1085 •13 = 14105 - сумма всех трехзначных членов прогрессии, кратных 7 и 5 одновременно.
2) Все трехзначные числа, которые делятся на 7 (включая те, которые делятся на 5)п представляют собой арифметическую прогрессию, где а1 = 112 , an = 994, d = 7
112, 119, 126... 994
an = a1 + d•(n-1)
994 = 112 + 7 • n-1)
7•(n-1) = 994 - 112
7•(n-1) = 882
n - 1 = 882 : 7
n - 1 = 126
n = 126 + 1
n = 127 - всего членов в прогрессии.
Sn = (a1 + an) • n / 2
Sn = (112 + 994) • 127/2
Sn = 1106 • 127 /2 = 70231 - сумма всех трехзначных членов прогрессии, кратных 7.
3) 70231 - 14105 = 56126 - сумма всех трехзначных чисел, кратных 7, но не кратных 5.
ответ: 56126.