Дано: F(x)= -x²+4 - функция, Хо = -2.
Найти: Уравнение касательной.
Решение.
Пункт а)
Y = F'(Xo)*(x - Xo) + F(Xo) .
Находим первую производную - k - наклон касательной.
F'(x) = -2*x.
Вычисляем в точке Хо = -2.
F'(-2) = 4 - производная и F(-2) = 0 - функция.
Записываем уравнения прямой.
Y = 4*(x - (-2)) + (0) = 4*x + 8 - касательная - ОТВЕТ
Рисунок к задаче в приложении.
Пункт б)
а = 8 ед. - катет по оси ОУ
b = |-2| = 2 ед. - катет по оси ОХ.
Площадь треугольника по формуле:
S = a*b/2 = 8*2/2 = 8 ед.² - площадь - ответ.
ответ Замятина - сила Разума - лишнее вычеркнуть.
ДАНО: Y(x) = 0,33*x³ + 0,5*x² -6*x + 1.
ИССЛЕДОВАНИЕ.
1. Область определения D(y) ∈ R, Х∈(-∞;+∞) - непрерывная , гладкая.
2. Вертикальная асимптота - нет - нет разрывов.
3. Наклонная асимптота - y = k*x+b.
k = lim(+∞) Y(x)/x = +∞ - нет наклонной (горизонтальной) асимптоты.
4. Периода - нет - не тригонометрическая функция.
5. Пересечение с осью OХ.
Функция третьего порядка - должно быть три корня.
Применим тригонометрическую формулу Виета.
Разложим многочлен на множители. Y=(x+5,13)*(x-0,17)*(x-3,46)
Нули функции: Х₁ = -5,13, Х₂ =0,17, Х₃ =3,46
6. Интервалы знакопостоянства.
Отрицательная - Y(x)<0 X∈(-∞;-5,13]U[0,17;3,46]
Положительная -Y(x)>0 X∈[-5,13;0,17]U[3,46;+∞)
7. Пересечение с осью OY. Y(0) = 1
8. Исследование на чётность.
В полиноме есть и чётные и нечётные степени - функция общего вида.
Y(-x) ≠ Y(x) - не чётная. Y(-x) ≠ -Y(x) - не нечётная.
9. Поиск экстремумов по первой производной.
Y'(x) = x² + x - 6 = 0 - квадратное уравнение.
Корни Y'(x)=0. Х₄ = -3 Х₅= 2
Производная отрицательна между корнями - функция убывает.
10. Локальные экстремумы.
Максимум - Ymax(X₄= -3) = 14,5.
Минимум - Ymin(X₅ = 2) = -6,33
11. Интервалы монотонности.
Возрастает Х∈(-∞;-3;]U[2;+∞) , убывает - Х∈[-3;2]
12. Вторая производная - Y"(x) = 2* x + 1 = 0
Корень производной - точка перегиба Х₆= -0,5
13. Выпуклая “горка» Х∈(-∞; Х₆ = -0,5]
Вогнутая – «ложка» Х∈[Х₆ = -0,5; +∞).
14. График в приложении.
Ещё раз напоминание о результатах исследования -
лишнее запомнить и удалить
Дано: F(x)= -x²+4 - функция, Хо = -2.
Найти: Уравнение касательной.
Решение.
Пункт а)
Y = F'(Xo)*(x - Xo) + F(Xo) .
Находим первую производную - k - наклон касательной.
F'(x) = -2*x.
Вычисляем в точке Хо = -2.
F'(-2) = 4 - производная и F(-2) = 0 - функция.
Записываем уравнения прямой.
Y = 4*(x - (-2)) + (0) = 4*x + 8 - касательная - ОТВЕТ
Рисунок к задаче в приложении.
Пункт б)
а = 8 ед. - катет по оси ОУ
b = |-2| = 2 ед. - катет по оси ОХ.
Площадь треугольника по формуле:
S = a*b/2 = 8*2/2 = 8 ед.² - площадь - ответ.
ответ Замятина - сила Разума - лишнее вычеркнуть.
ДАНО: Y(x) = 0,33*x³ + 0,5*x² -6*x + 1.
ИССЛЕДОВАНИЕ.
1. Область определения D(y) ∈ R, Х∈(-∞;+∞) - непрерывная , гладкая.
2. Вертикальная асимптота - нет - нет разрывов.
3. Наклонная асимптота - y = k*x+b.
k = lim(+∞) Y(x)/x = +∞ - нет наклонной (горизонтальной) асимптоты.
4. Периода - нет - не тригонометрическая функция.
5. Пересечение с осью OХ.
Функция третьего порядка - должно быть три корня.
Применим тригонометрическую формулу Виета.
Разложим многочлен на множители. Y=(x+5,13)*(x-0,17)*(x-3,46)
Нули функции: Х₁ = -5,13, Х₂ =0,17, Х₃ =3,46
6. Интервалы знакопостоянства.
Отрицательная - Y(x)<0 X∈(-∞;-5,13]U[0,17;3,46]
Положительная -Y(x)>0 X∈[-5,13;0,17]U[3,46;+∞)
7. Пересечение с осью OY. Y(0) = 1
8. Исследование на чётность.
В полиноме есть и чётные и нечётные степени - функция общего вида.
Y(-x) ≠ Y(x) - не чётная. Y(-x) ≠ -Y(x) - не нечётная.
9. Поиск экстремумов по первой производной.
Y'(x) = x² + x - 6 = 0 - квадратное уравнение.
Корни Y'(x)=0. Х₄ = -3 Х₅= 2
Производная отрицательна между корнями - функция убывает.
10. Локальные экстремумы.
Максимум - Ymax(X₄= -3) = 14,5.
Минимум - Ymin(X₅ = 2) = -6,33
11. Интервалы монотонности.
Возрастает Х∈(-∞;-3;]U[2;+∞) , убывает - Х∈[-3;2]
12. Вторая производная - Y"(x) = 2* x + 1 = 0
Корень производной - точка перегиба Х₆= -0,5
13. Выпуклая “горка» Х∈(-∞; Х₆ = -0,5]
Вогнутая – «ложка» Х∈[Х₆ = -0,5; +∞).
14. График в приложении.
Ещё раз напоминание о результатах исследования -
лишнее запомнить и удалить