Існу іб побудови графіка функції, що базується на аналітичному дослідженні функції.
Дослідження проводиться за такою приблизною схемою:
1) з'ясування області визначення функції;
2) вирішується питання про парності або непарності функції;
3) досліджується періодичність функції;
4) знаходять точки перетину кривої з осями координат;
5) знаходять точки розриву функції і визначають їх характер;
6) проводять дослідження на екстремум, знаходять екстремальні значення функції;
7) шукаються точки перегину та інтервали опуклості та угнутості кривій;
8) відшукання асимптоти кривій;
9) отримані результати наносять на креслення і отримують графік досліджуваної функції.
Приклад. Провести повне дослідження функції Провести повне дослідження функції та побудувати її графік.
1) Функція визначена всюди, крім точок Область визначення функції.
2) Функція непарна, тому що f(-x) = -f (x), і, отже, її графік симетричний відносно початку координат. Тому обмежимося дослідженням тільки для 0 ≤ x ≤ +∞.
3) Функція не періодична.
4) Так як y = 0 лише при x = 0, то перетин з осями координат відбувається тільки на початку координат.
5) Функція має розрив другого роду в точці точки розриву функції, причому точки розриву другого роду, . Принагідно зауважимо, що прямавертикальна асимптота – вертикальна асимптота.
6) Знаходимо Перша похідна функції і прирівнюємо її до нуля: точки екстремуму функції, звідки x1 = -3, x2 = 0, x3 = 3. На екстремум треба досліджувати тільки точку x=3 (точку x2=0 не досліджуємо, тому що вона є граничною точкою проміжку [0, +∞)).
В околиці точки x3=3 має: y’>0 при x<3 та y ’<0 при x>3, отже, в точці x3 функція має максимум, ymax(3)=-9/2.
Знайти першу похідну функції
Для перевірки правильності знаходження мінімального та максимального значення.
7) Знаходимо друга похідна функції. Бачимо, що y’’=0 лише при x = 0, при цьому y”<0 при x<0 та y”>0 при x>0, отже, в точці (0,0) крива має перегин. Іноді напрямок угнутості може змінитися при переході через розрив кривої, тому слід з'ясувати знак y" і близько точок розриву функції. У нашому випадку y”>0 на проміжку точки перегину функції i y”<0 на увігнутість і опуклість функції, отже, на крива ввігнута і опукла на як визначити увігнутість функції.
Знайти другу похідну функції
8) з'ясуємо питання про асимптоту.
Наявність вертикальної асимптоти визначення асимптоти встановлено вище. Шукаємо горизонтальні: як знайти асимптоти, отже, горизонтальних асимптот немає.
Знайдемо похилі асимптоти: похилі асимптоти, похила двостороння Асимптота, виходячи з цього, y=-x – похильна двобічна асимптота.
9) Тепер, використовуючи отримані дані, будуємо креслення:
"Гнилые местечки"- так в XVIII -XIX веках называли опустевшие,малонаселённые деревни и городки в Англии,обладающие представительством в парламенте,но не имеющие право посылать своих депутатов .Голосами таких "безлюдных" местечек пользовался хозяин земли.Полноценные избирательные округа по закону,на деле были "мёртвыми душами",при том,что в XIX веке,в Британии,из 20 млн населения правом голоса обладали всего 160 тысяч человек.Голоса таких "гнилых местечек" можно было купить или заставить голосовать,как нужно землевладельцу.В 1832 году была проведена избирательная реформа и "гнилые местечки " были лишены права представительства в парламенте,а их места передали крупным промышленным центрам. В ходе промышленной революции в конце XVIII века, в Англии совершился промышленный переворот и переход от ручного труда,к машинному,многочисленные фабрики открывались в больших городах,население маленьких городков осталось без работы,после закрытия мануфактур.Население таких годков было вынужденно перебираться в крупные промышленные центры,города пустели,оставались лишь те,кто уже не мог работать или был слишком мал.Аграрная революция привела к разорению мелких фермеров,ликвидации небольших хозяйств и переходу всех земель к крупным арендаторам и землевладельцам.Жители деревень,лишившись хозяйств,были вынуждены наниматься на работу,за гроши,но в крупных городах открывались предприятия,появилась возможность устраиваться на фабрики и сельские жители стали перебираться в крупные города,деревни пустели или становились совсем безлюдными,люди искали лучшей доли и жизни.Таким образом,население покидало маленькие города,сёла и деревни,уезжали на заработки,а опустевшие поселения и становились "гнилыми местечками",обладающими представительством в парламенте,а на деле-безлюдные города и деревни "призраки"
Пошаговое объяснение:
Існу іб побудови графіка функції, що базується на аналітичному дослідженні функції.
Дослідження проводиться за такою приблизною схемою:
1) з'ясування області визначення функції;
2) вирішується питання про парності або непарності функції;
3) досліджується періодичність функції;
4) знаходять точки перетину кривої з осями координат;
5) знаходять точки розриву функції і визначають їх характер;
6) проводять дослідження на екстремум, знаходять екстремальні значення функції;
7) шукаються точки перегину та інтервали опуклості та угнутості кривій;
8) відшукання асимптоти кривій;
9) отримані результати наносять на креслення і отримують графік досліджуваної функції.
Приклад. Провести повне дослідження функції Провести повне дослідження функції та побудувати її графік.
1) Функція визначена всюди, крім точок Область визначення функції.
2) Функція непарна, тому що f(-x) = -f (x), і, отже, її графік симетричний відносно початку координат. Тому обмежимося дослідженням тільки для 0 ≤ x ≤ +∞.
3) Функція не періодична.
4) Так як y = 0 лише при x = 0, то перетин з осями координат відбувається тільки на початку координат.
5) Функція має розрив другого роду в точці точки розриву функції, причому точки розриву другого роду, . Принагідно зауважимо, що прямавертикальна асимптота – вертикальна асимптота.
6) Знаходимо Перша похідна функції і прирівнюємо її до нуля: точки екстремуму функції, звідки x1 = -3, x2 = 0, x3 = 3. На екстремум треба досліджувати тільки точку x=3 (точку x2=0 не досліджуємо, тому що вона є граничною точкою проміжку [0, +∞)).
В околиці точки x3=3 має: y’>0 при x<3 та y ’<0 при x>3, отже, в точці x3 функція має максимум, ymax(3)=-9/2.
Знайти першу похідну функції
Для перевірки правильності знаходження мінімального та максимального значення.
7) Знаходимо друга похідна функції. Бачимо, що y’’=0 лише при x = 0, при цьому y”<0 при x<0 та y”>0 при x>0, отже, в точці (0,0) крива має перегин. Іноді напрямок угнутості може змінитися при переході через розрив кривої, тому слід з'ясувати знак y" і близько точок розриву функції. У нашому випадку y”>0 на проміжку точки перегину функції i y”<0 на увігнутість і опуклість функції, отже, на крива ввігнута і опукла на як визначити увігнутість функції.
Знайти другу похідну функції
8) з'ясуємо питання про асимптоту.
Наявність вертикальної асимптоти визначення асимптоти встановлено вище. Шукаємо горизонтальні: як знайти асимптоти, отже, горизонтальних асимптот немає.
Знайдемо похилі асимптоти: похилі асимптоти, похила двостороння Асимптота, виходячи з цього, y=-x – похильна двобічна асимптота.
9) Тепер, використовуючи отримані дані, будуємо креслення:
В ходе промышленной революции в конце XVIII века, в Англии совершился промышленный переворот и переход от ручного труда,к машинному,многочисленные фабрики открывались в больших городах,население маленьких городков осталось без работы,после закрытия мануфактур.Население таких годков было вынужденно перебираться в крупные промышленные центры,города пустели,оставались лишь те,кто уже не мог работать или был слишком мал.Аграрная революция привела к разорению мелких фермеров,ликвидации небольших хозяйств и переходу всех земель к крупным арендаторам и землевладельцам.Жители деревень,лишившись хозяйств,были вынуждены наниматься на работу,за гроши,но в крупных городах открывались предприятия,появилась возможность устраиваться на фабрики и сельские жители стали перебираться в крупные города,деревни пустели или становились совсем безлюдными,люди искали лучшей доли и жизни.Таким образом,население покидало маленькие города,сёла и деревни,уезжали на заработки,а опустевшие поселения и становились "гнилыми местечками",обладающими представительством в парламенте,а на деле-безлюдные города и деревни "призраки"