Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найдите сумму всех действительных корней уравнения (1+x+x^2)(1+x+…+x^10)=(1+x+…+x^6)^2. подсказка: подумайте, как можно решить это уравнение не раскрывая скобок.

Показать ответ

Ответ:

natashaleskovets

01.09.2020 07:28

Очевидно, что в скобках это геометрическая прогрессия с первым членом b_1=1

b_1=1

и знаменателем q=x

q=x

.Т.е.
Для каждой скобки вычисляя сумму первых n членов, получим

$1+x+x^2= \dfrac{b_1(1-q^3)}{1-q} = \dfrac{1-x^3}{1-x} \\ \\ 1+x+...+x^{10}= \dfrac{b_1(1-q^{10})}{1-q} =\dfrac{1-x^{10}}{1-x} \\ \\ 1+x+...+x^6= \dfrac{b_1(1-q^7)}{1-q} = \dfrac{1-x^7}{1-x}$

Подставив в исходное уравнение, получим $\dfrac{(1-x^3)(1-x^{11})}{(1-x)^2}= \dfrac{(1-x^7)^2}{(1-x)^2}$
$(1-x^3)(1-x^{11})=(1-x^7)^2\\ 1-x^{11}-x^3+x^{14}=1-2x^7+x^{14}\\ x^{11}-2x^7+x^3=0\\ x^3(x^8-2x^4+1)=0\\ x^3(x^4-1)^2=0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, т.е.
$x_1=0\\ x_{2,3}=\pm1$

Корень х = 1 - посторонний (так как знаменатель обращается в 0)

Сумма всех действительных корней равна 0 - 1 = -1

ответ: -1.

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

margosha2810

12.02.2021 17:58

Обєднати обєкти в гупи банан батон сир олівець...

sanadakim

12.02.2021 17:58

450 км пройдено авто за некоторое время - это 5/9 пути , а сколько пройдет авто за весь день?...

andriybiguniak2

12.02.2021 17:58

Розвязати рывняння 42-хх5 =12 х подылити 5 - 23 = 42 8х - 4х додати 5 =25...

Misaki59

03.04.2020 15:55

Агрофирма владеет 140 га земли 16% которой занимает яблоневый сад. найдите площадь сада....

dimabolnygin

03.04.2020 15:55

Числа і вирази (17+7) і 6 7 і (11-7) 7х5і28: 6 знайти частку добуток різницю...

pkfz178

03.04.2020 15:55

Знайдіть корінь рівняння : 6x+25x = 1674, x+35x=2808 , 7x+9x+32= 272 , 5y+7y-24=204, 24x-15x=47==1919...

ольга2104

03.04.2020 15:55

молоко разлито по 30 стаканам. мальчик пытается добиться, чтобы во всех стаканах молока стало поровну. для этого он берет какие-нибудь два стакана и отливает молоко из одного в другой...

marina151987

03.04.2020 15:55

По нам задали написать сказку про ноль и единицу и нечего в голову не приходит...

mariyaarif

03.04.2020 15:55

Клоун бим строит карточные домики. на одноэтажный домик он тратит 2 карты. на двухэтажный - 7 карт. сколько надо карт для трехэтажного и четырехэтажного домиков? если можно, то с объяснением...

SMILЕ31

03.04.2020 15:55

Вычеслите значения выражения 5а + 15 * 2 + а + 2а если: 1) а=8: 2) а=20....

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку