Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найдите такое значение a> 1, при котором уравнение a^x = log_ax имеет единственное решение. в ответе укажите число e*lna.

Показать ответ

Ответ:

Крипер1111111

02.10.2020 17:30

Найти такое $\displaystyle a\in\mathbb{R}$ , что $\displaystyle a\ \textgreater \ 1\land{\big|\{x\in\mathbb{R} \mid a^x=\log_a(x)\}\big|=1}.$

Пусть $\displaystyle f(x)=a^x,\,g(x)=\log_a(x).$

Заметим, что $\displaystyle f\left(g\left(x\right)\right)=a^{\log_a(x)}=x$ , то есть $\displaystyle g(x)=f^{-1}(x).$

$\displaystyle \forall{x}:f(x)=f^{-1}(x)\implies{x=f(x)},$ значит имеем $\displaystyle x=a^x.$

Уравнение $\displaystyle x=a^x$ имеет единственное действительное решение только тогда, когда $\displaystyle y=x$ касается $\displaystyle y=f(x).$

$\displaystyle f'(x)=\frac{\text{d}f(x)}{\text{d}x}=\frac{\text{d}\left(a^x\right)}{\text{d}x}=\frac{\text{d}\left(e^{x\log(a)}\right)}{\text{d}x}=\frac{\log(a)e^{x\log(a)}\text{d}x}{\text{d}x}=\log(a)a^x;$

$\displaystyle t_{x_0}(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)=a^{x_0}+\log(a)a^{x_0}(x-x_0);$

$\displaystyle\begin{cases}t_{x_0}(0)=0,\\\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}t_{x_0}(x)=\dfrac{\text{d}x}{\text{d}x}=1;\end{cases}$

$\displaystyle\begin{cases}0=a^{x_0}-x_0\log(a)a^{x_0},\\1=\log(a)a^{x_0} \implies a^{x_0}=\dfrac{1}{\log(a)};\end{cases}$

$\displaystyle 0=\frac{1}{\log(a)}-x_0\log(a)\frac{1}{\log(a)} \implies x_0=\frac{1}{\log(a)};$

$\displaystyle 1=\log(a)a^{1/log(a)}=\log(a)e^{\log(a)/\log(a)}=\log(a)e;$

$\displaystyle \log(a)=\frac{1}{e}\implies a=\boxed{e^{1/e}}\phantom{.};$

$\displaystyle a=e^{1/e}\implies e\log(a)=e\log(e^{1/e})=e\frac{1}{e}\log(e)=\boxed{1}\phantom{.}.$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

Kola2004kola

18.01.2020 02:38

Если бы синий кит встал на хвост до какого этажа он достанет ?...

Картофан7777777

18.01.2020 02:38

Какие минералы используют для органического синтеза? - рабочая тетрадь, 4 класс....

messi114

18.01.2020 02:38

Найди двумя площадь прямоугольника abcd...

sanay06

18.01.2020 02:38

Печь за 1 час 30 минут готовит 270 пирожков.сколько пирожков готовит печь за час?...

yekaterinak977

18.01.2020 02:38

Реферат по обж на тему: действия при обрушении здания. ( 5 класс)...

den53499

18.01.2020 02:38

Вычислите.выразите результат а) (42000дм3+78м3): 6 б) (5 670-6700000см2): 1000...

raitilianna

18.01.2020 02:38

1бригада прокладывает асфальт расстоянием 18 км за 30 дней. 2 бригада прокладывает также 18 км но в 2 раза больше чем 1 бригада. сколько дней им потребуется чтобы вместе проложить...

anna1919191

15.01.2021 22:41

Решить две : номер 1! решите с уравнения : за 2 простыни и 1 пододеяльник заплатили 14 рублей,пододеяльник стоит 6 рублей,сколько стоит простыня? номер 2! угадайте корень уравнения...

melnicoff

15.01.2021 22:41

Чем спутник отличается от ракеты? - рабочая тетрадь 4 класс....

Romikkk1

15.01.2021 22:41

Имеются песочные часы на 3 минуты и на 7 минут. надо опустить яйцо в кипящую воду ровно на 4 минуты. как это сделать с песочных часов?...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку