Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найдите такое значение a> 1, при котором уравнение ax=logax имеет единственное решение. в ответе укажите число e⋅lna.

Показать ответ

Ответ:

shchepelevason

02.10.2020 17:54

Найти такое $\displaystyle a\in\mathbb{R}$ , что $\displaystyle a\ \textgreater \ 1\land{\big|\{x\in\mathbb{R} \mid a^x=\log_a(x)\}\big|=1}.$

Пусть $\displaystyle f(x)=a^x,\,g(x)=\log_a(x).$

Заметим, что $\displaystyle f\left(g\left(x\right)\right)=a^{\log_a(x)}=x$ , то есть $\displaystyle g(x)=f^{-1}(x).$

$\displaystyle \forall{x}:f(x)=f^{-1}(x)\implies{x=f(x)},$ значит имеем $\displaystyle x=a^x.$

Уравнение $\displaystyle x=a^x$ имеет единственное действительное решение только тогда, когда $\displaystyle y=x$ касается $\displaystyle y=f(x).$

$\displaystyle f'(x)=\frac{\text{d}f(x)}{\text{d}x}=\frac{\text{d}\left(a^x\right)}{\text{d}x}=\frac{\text{d}\left(e^{x\log(a)}\right)}{\text{d}x}=\frac{\log(a)e^{x\log(a)}\text{d}x}{\text{d}x}=\log(a)a^x;$

$\displaystyle t_{x_0}(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)=a^{x_0}+\log(a)a^{x_0}(x-x_0);$

$\displaystyle\begin{cases}t_{x_0}(0)=0,\\\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}t_{x_0}(x)=\dfrac{\text{d}x}{\text{d}x}=1;\end{cases}$

$\displaystyle\begin{cases}0=a^{x_0}-x_0\log(a)a^{x_0},\\1=\log(a)a^{x_0} \implies a^{x_0}=\dfrac{1}{\log(a)};\end{cases}$

$\displaystyle 0=\frac{1}{\log(a)}-x_0\log(a)\frac{1}{\log(a)} \implies x_0=\frac{1}{\log(a)};$

$\displaystyle 1=\log(a)a^{1/log(a)}=\log(a)e^{\log(a)/\log(a)}=\log(a)e;$

$\displaystyle \log(a)=\frac{1}{e}\implies a=\boxed{e^{1/e}}\phantom{.};$

$\displaystyle a=e^{1/e}\implies e\log(a)=e\log(e^{1/e})=e\frac{1}{e}\log(e)=\boxed{1}\phantom{.}.$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

SizovaOlay

03.03.2020 12:47

Группа туристов из 39 человек планирует совершить сплав по реке на двухместных и трёхместных байдарках. Сколько трёхместных байдарок понадобится, если часть группы отправится в сплав...

Карина12345654321

03.03.2020 12:47

Хвалько записав двоцифрове число,а потвм дописав до нього праворуч іще одну цифру.Після того як до одержаного числа Хвалько додав 70 він отримав 900.Яке число Звалькт написав спочатку?...

magrim600

08.12.2020 22:06

А) целых 3 3/4 + 1целая 1/2 б) 2целых 5/6 -1целая 5/12 в) 4целых-1целая 2/3 г) 3 целых 2/7-6/7 д) 1целая 1/3*4 е) 3 1/4*2/5 Решите не надо голимые ответы быстрее...

НaстяРайская

29.04.2021 08:42

Решите уравнение: 5 • (90–x • 3) + 35 = 350 . И . 320 - (x • 4 + 120 ) :5 = 240...

ailonkilo

13.04.2020 06:05

ПОМАГИТЕ t = 5 ч V 1 = 61 км/ч V2 = 73 км/ч V с (среднее арифметическое) - ? км/ч...

mehimehi225

30.09.2022 19:42

Сторони трикутника дорівнюють 25см,29см,36см.Знайти висоту трикутника...

Dan4ik7211

15.07.2020 18:28

Перетворить у видсотки 0,09 0,67 1,23...

veronichkasape

18.08.2022 06:42

Турист идет со скоростью 4км/ч. Какое расстояние пройдет турист за Х дней? Х=2; 3; 4. Задайте зависимость всеми тремя ....

Nikaaazhh

02.05.2023 06:29

Вычесли по действиям (567-398)-640:5= (1000-876)+355*2= (701-36)-660:5= 1000-390:2...

mrsdyy

27.02.2020 09:45

Выразите переменную м, Да E= 3 м + 9. Выберите правильный ответ! m =9 - E3 m = 3 ⋅ ( E- 9 ) m =E- 93 m = 3 ( 9 - E)...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку