Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найдите такое значение a> 1, при котором уравнение ax=logax имеет единственное решение. в ответе укажите число e⋅lna.

Показать ответ

Ответ:

shchepelevason

02.10.2020 17:54

Найти такое $\displaystyle a\in\mathbb{R}$ , что $\displaystyle a\ \textgreater \ 1\land{\big|\{x\in\mathbb{R} \mid a^x=\log_a(x)\}\big|=1}.$

Пусть $\displaystyle f(x)=a^x,\,g(x)=\log_a(x).$

Заметим, что $\displaystyle f\left(g\left(x\right)\right)=a^{\log_a(x)}=x$ , то есть $\displaystyle g(x)=f^{-1}(x).$

$\displaystyle \forall{x}:f(x)=f^{-1}(x)\implies{x=f(x)},$ значит имеем $\displaystyle x=a^x.$

Уравнение $\displaystyle x=a^x$ имеет единственное действительное решение только тогда, когда $\displaystyle y=x$ касается $\displaystyle y=f(x).$

$\displaystyle f'(x)=\frac{\text{d}f(x)}{\text{d}x}=\frac{\text{d}\left(a^x\right)}{\text{d}x}=\frac{\text{d}\left(e^{x\log(a)}\right)}{\text{d}x}=\frac{\log(a)e^{x\log(a)}\text{d}x}{\text{d}x}=\log(a)a^x;$

$\displaystyle t_{x_0}(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)=a^{x_0}+\log(a)a^{x_0}(x-x_0);$

$\displaystyle\begin{cases}t_{x_0}(0)=0,\\\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}t_{x_0}(x)=\dfrac{\text{d}x}{\text{d}x}=1;\end{cases}$

$\displaystyle\begin{cases}0=a^{x_0}-x_0\log(a)a^{x_0},\\1=\log(a)a^{x_0} \implies a^{x_0}=\dfrac{1}{\log(a)};\end{cases}$

$\displaystyle 0=\frac{1}{\log(a)}-x_0\log(a)\frac{1}{\log(a)} \implies x_0=\frac{1}{\log(a)};$

$\displaystyle 1=\log(a)a^{1/log(a)}=\log(a)e^{\log(a)/\log(a)}=\log(a)e;$

$\displaystyle \log(a)=\frac{1}{e}\implies a=\boxed{e^{1/e}}\phantom{.};$

$\displaystyle a=e^{1/e}\implies e\log(a)=e\log(e^{1/e})=e\frac{1}{e}\log(e)=\boxed{1}\phantom{.}.$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

SizovaOlay

03.03.2020 12:47

Группа туристов из 39 человек планирует совершить сплав по реке на двухместных и трёхместных байдарках. Сколько трёхместных байдарок понадобится, если часть группы отправится в сплав...

НaстяРайская

29.04.2021 08:42

Решите уравнение: 5 • (90–x • 3) + 35 = 350 . И . 320 - (x • 4 + 120 ) :5 = 240...

Nikaaazhh

02.05.2023 06:29

Вычесли по действиям (567-398)-640:5= (1000-876)+355*2= (701-36)-660:5= 1000-390:2...

Shmops1063

09.12.2020 09:16

в коробке с елочными игрушками лежат 17 ёлочных шаров 7 красных 6 зелёных 4 синих много в срок предоставить несколько шаров Выберите верное утверждение Запишите в ответе их номера...

Soldat098

08.06.2023 11:26

Коля взял 2 листа прямоугольной формы со сторонами 3см и 4 см сложил из них прямоугольники начерти получившийся прямоугольник. найди два решения задачи...

JeDor15

27.03.2020 22:24

Цирк-шапито поехал на гастроли в три города. Гастроли будут продолжаться 72 дня. В Твери цирк давал3представления в течение всего срока, в Новгороде8всего срока гастролей. Сколько...

anyamaleva97

14.11.2020 18:06

Доказать что треугольник АВС равнобедреный ...

СоедвалиеваСофия

24.09.2020 08:15

Учитель попросил Олега разложить на трёх полках шары - жѐлтый, красный, синий. Сколькими Олег может это сделать? Постройте дерево всевозможных вариантов !...

B8888

11.04.2022 16:58

между сторонами угла AOB, равного 128°, проведены лучи OC и OM так, что угол AOC на 24° меньше углат BOC, а OM - биссектрисса угла COM. ответ дайте в градусах...

ппам

10.09.2020 17:15

Решите уравнения очень...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку