Добрый день! Давайте рассмотрим решение этой задачи.
Исходное уравнение: (ctg x + 1)(cos x - 1) = 0
Первым шагом решения будет нахождение корней каждого множителя уравнения.
1. Рассмотрим первый множитель ctg x + 1 = 0.
Для этого приравняем ctg x к -1 и решим уравнение:
ctg x = -1
Так как ctg(x) = 1/tan(x), то можно записать это уравнение в виде:
1/tan x = -1
Тангенс является отношением синуса к косинусу:
sin x / cos x = -1
Теперь рассмотрим, в каких четвертях тригонометрические функции принимают отрицательные значения:
- во 2-й и 4-й четвертях синус является отрицательным, косинус положительным.
Значит, на интервале (100°; 400°) такие значения можно получить только в 2-й и 4-й четвертях. В этих четвертях тангенс отрицательный.
Поэтому можем записать уравнение в виде:
sin x / -cos x = 1
Поменяем знаки в уравнении и получим:
-sin x / cos x = 1
-tg x = 1
Найдем угол, для которого tg x равен 1. Этим углом является 45 градусов (или π/4 радиан).
Теперь найдем все x, для которых ctg x = -1.
ctg x является обратной функцией к тангенсу, поэтому можем записать это уравнение в виде:
tg x = -1
Выше мы уже нашли один угол, для которого tg x равен -1 (45 градусов).
Так как тангенс является периодической функцией с периодом π, то можем рассмотреть другие значения углов, на которых tg x равен -1.
Они будут отличаться на π. То есть, если для некоторого угла x tg x = -1, то и для x + π tg (x + π) также будет равен -1.
Теперь нашли все углы, для которых ctg x = -1.
2. Рассмотрим второй множитель cos x - 1 = 0.
Для этого приравняем cos x к 1 и решим уравнение:
cos x = 1
Найдем угол, для которого cos x равен 1. Этим углом является 0 градусов (или 0 радиан).
Теперь нашли все углы, для которых cos x = 1.
3. Найдем сумму корней уравнения (ctg x + 1)(cos x - 1) = 0, принадлежащих интервалу (100°; 400°).
Исходно у нас есть два типа корней: углы, для которых ctg x равен -1 и углы, для которых cos x равен 1.
Углы, для которых ctg x равен -1, находим с помощью вычисленных ранее значений:
45° + π, 225° + π, 405° + π.
Углы, для которых cos x равен 1, ранее мы уже нашли:
0°.
Теперь найдем углы, принадлежащие интервалу (100° ;400°):
В пределах этого интервала нет углов, для которых ctg x равен -1.
Угол 0° принадлежит интервалу (100° ;400°).
Поэтому сумма корней, удовлетворяющих условию, равна 0 + π.
Таким образом, сумма корней уравнения (ctg x + 1)(cos x - 1) = 0, принадлежащих интервалу (100° ;400°), равна 0 + π.
Исходное уравнение: (ctg x + 1)(cos x - 1) = 0
Первым шагом решения будет нахождение корней каждого множителя уравнения.
1. Рассмотрим первый множитель ctg x + 1 = 0.
Для этого приравняем ctg x к -1 и решим уравнение:
ctg x = -1
Так как ctg(x) = 1/tan(x), то можно записать это уравнение в виде:
1/tan x = -1
Тангенс является отношением синуса к косинусу:
sin x / cos x = -1
Теперь рассмотрим, в каких четвертях тригонометрические функции принимают отрицательные значения:
- во 2-й и 4-й четвертях синус является отрицательным, косинус положительным.
Значит, на интервале (100°; 400°) такие значения можно получить только в 2-й и 4-й четвертях. В этих четвертях тангенс отрицательный.
Поэтому можем записать уравнение в виде:
sin x / -cos x = 1
Поменяем знаки в уравнении и получим:
-sin x / cos x = 1
-tg x = 1
Найдем угол, для которого tg x равен 1. Этим углом является 45 градусов (или π/4 радиан).
Теперь найдем все x, для которых ctg x = -1.
ctg x является обратной функцией к тангенсу, поэтому можем записать это уравнение в виде:
tg x = -1
Выше мы уже нашли один угол, для которого tg x равен -1 (45 градусов).
Так как тангенс является периодической функцией с периодом π, то можем рассмотреть другие значения углов, на которых tg x равен -1.
Они будут отличаться на π. То есть, если для некоторого угла x tg x = -1, то и для x + π tg (x + π) также будет равен -1.
Теперь нашли все углы, для которых ctg x = -1.
2. Рассмотрим второй множитель cos x - 1 = 0.
Для этого приравняем cos x к 1 и решим уравнение:
cos x = 1
Найдем угол, для которого cos x равен 1. Этим углом является 0 градусов (или 0 радиан).
Теперь нашли все углы, для которых cos x = 1.
3. Найдем сумму корней уравнения (ctg x + 1)(cos x - 1) = 0, принадлежащих интервалу (100°; 400°).
Исходно у нас есть два типа корней: углы, для которых ctg x равен -1 и углы, для которых cos x равен 1.
Углы, для которых ctg x равен -1, находим с помощью вычисленных ранее значений:
45° + π, 225° + π, 405° + π.
Углы, для которых cos x равен 1, ранее мы уже нашли:
0°.
Теперь найдем углы, принадлежащие интервалу (100° ;400°):
В пределах этого интервала нет углов, для которых ctg x равен -1.
Угол 0° принадлежит интервалу (100° ;400°).
Поэтому сумма корней, удовлетворяющих условию, равна 0 + π.
Таким образом, сумма корней уравнения (ctg x + 1)(cos x - 1) = 0, принадлежащих интервалу (100° ;400°), равна 0 + π.