Представим себе двудольный граф: слева вершины, обозначающие студентов, справа — вопросы. Если студент ответил на вопрос, то между этим студентом и этим вопросом проведем ребро.
Рассмотрим первую пару вопросов (). Для них по условию найдется хотя бы 6 студентов, каждый из которых ответил правильно ровно на один из этих двух вопросов. Пусть это множество из хотя бы 6 студентов называется . Тогда остальных студентов (тех, что не удовлетворяют описанному требованию) не больше 5 — это множество . Рассмотрим следующую пару вопросов (,попарно отличных от предыдущих). Тогда имеет с хотя бы одно пересечение. Поэтому для пары будет хотя бы одно ребро из множества . Рассматривая далее пары и соответственно пары "берем" еще один элемент из . Так можно продолжать до тех пор, пока все элементы из , коих не больше пяти, не будут взяты. То есть всего можно добавить 2*5=10 вопросов дополнительно к . То есть всего не более 12.
Примечание: множество делится на два множества, из каждого идут ребра к вопросам , но из каждого к ровно одному. Для того, чтобы мы могли всегда изымать элементы из надо всего лишь без ограничения общности потребовать, чтобы ребро из шло в наибольшее из множеств, на которое делится . Тогда наименьшее из этих множеств деления не превосходит 5.
Пусть лягушонок стартует в точке . Тогда, если какие-то две точки повторились, то лягушонок побывал также в точке дважды, т.е. мы попали в цикл. Если мы покажем, что уравнение имеет решение при любом , то цикл будет состоять из всех точек, и лягушонок побывает во всех точках по одному разу, а затем вернется в точку ;
Докажем для начала, что если существует решение для остатков , то существует решение для остатка . Это вполне очевидно: просто сложим два уравнения для остатков . Теперь, в частности, если существует решение для , то существует решение для всех остатков. То есть нам надо решить диофантово уравнение ; Для этого сразу положим ; Пусть ;
Тогда из числа нам нужно получить число ; Но мы умеем прибавлять единицу: . То есть ; Иными словами, получили решение , но нам нужно решение в натуральных числах. Не вопрос: добавим к 2020, а к добавим 99. Получим решение: .
Итак, план действий следующий.
Пусть мы находимся в точке . Прыгаем 41 раз на 100 и 1999 раз на 99. Теперь мы в точке . Таким образом, мы посетим все точки.
Представим себе двудольный граф: слева вершины, обозначающие студентов, справа — вопросы. Если студент ответил на вопрос, то между этим студентом и этим вопросом проведем ребро.
Рассмотрим первую пару вопросов (
). Для них по условию найдется хотя бы 6 студентов, каждый из которых ответил правильно ровно на один из этих двух вопросов. Пусть это множество из хотя бы 6 студентов называется
. Тогда остальных студентов (тех, что не удовлетворяют описанному требованию) не больше 5 — это множество
. Рассмотрим следующую пару вопросов (
,попарно отличных от предыдущих). Тогда
имеет с
хотя бы одно пересечение. Поэтому для пары
будет хотя бы одно ребро из множества
. Рассматривая далее пары
и соответственно пары
"берем" еще один элемент из
. Так можно продолжать до тех пор, пока все элементы из
, коих не больше пяти, не будут взяты. То есть всего можно добавить 2*5=10 вопросов дополнительно к
. То есть всего не более 12.
Примечание: множество
делится на два множества, из каждого идут ребра к вопросам
, но из каждого к ровно одному. Для того, чтобы мы могли всегда изымать элементы из
надо всего лишь без ограничения общности потребовать, чтобы ребро из
шло в наибольшее из множеств, на которое делится
. Тогда наименьшее из этих множеств деления не превосходит 5.
Пусть лягушонок стартует в точке
. Тогда, если какие-то две точки повторились, то лягушонок побывал также в точке
дважды, т.е. мы попали в цикл. Если мы покажем, что уравнение
имеет решение при любом
, то цикл будет состоять из всех точек, и лягушонок побывает во всех точках по одному разу, а затем вернется в точку
;
Докажем для начала, что если существует решение для остатков
, то существует решение для остатка
. Это вполне очевидно: просто сложим два уравнения для остатков
. Теперь, в частности, если существует решение для
, то существует решение для всех остатков. То есть нам надо решить диофантово уравнение
; Для этого сразу положим
; Пусть
;
Тогда из числа
нам нужно получить число
; Но мы умеем прибавлять единицу:
. То есть
; Иными словами, получили решение
, но нам нужно решение в натуральных числах. Не вопрос: добавим к
2020, а к
добавим 99. Получим решение:
.
Итак, план действий следующий.
Пусть мы находимся в точке
. Прыгаем 41 раз на 100 и 1999 раз на 99. Теперь мы в точке
. Таким образом, мы посетим все точки.