Треугольник ABC, высоты AA1; BB1; CC1; точка пересечения H; Задано AH/HA1 = 1; BH/HB1 = 2; надо найти CH/HC1; Теорема Ван-Обеля дает AC1/C1B + AB1/B1C = AH/HA1 = 1; BC1/C1A + BA1/A1C = BH/HB1 = 2; (AC1/C1B)*(BA1/A1C)*(CB1/B1A) = 1; А найти надо CH/HC1 = CB1/B1A + CA1/A1B; Вот теперь надо что-то делать, чтобы можно было с этим работать. Пусть AC1/C1B = a; BA1/A1C = b; CB1/B1A = c; тогда вся эта абракадабра переписывается так a + 1/c = 1; 1/a + b = 2; abc = 1; и надо найти c + 1/b; теперь видно, что эту систему очень легко решить. из второго уравнения 1 + ab = 2a; => 1/c = 2a - 1; тогда из первого получается 3a - 1 = 1; a =2/3; далее b = 1/2; c = 3; c + 1/b = 5 = CH/HC1;
13) 1) код содержит ровно одну цифру 1; это: 1000, 0100, 0010, 0001 итого 4 варианта ответ: 4 варианта
2) код содержит цифры 0 и 1; так как цифры 4 содержит код, составить его надо из 2-х цифр, то всего вариантов 2*2*2*2=16, 16 - 2 = 14 ( убрали 0000 и 1111), итого 14 вариантов ответ: 14 вариантов
2) код содержит цифры 0 и 1; сумма цифр кода нечётная. нечетность среди четырех чисел будет тогда, когда в коде будет среди 0 одна 1 или среди единиц один 0 0111, 1011, 1101, 1110, 1000, 0100, 0010, 0001 итого 8 вариантов ответ: 8 вариантов
14) 1) их количество было одинаковым 5 + 10 = 15 см - общая длина отрезаемых кусочков 300 : 15 = 20 кусочков получим (20 по 5 см и 20 по 10см) ответ: 20 по 5 см и 20 по 10 см
2) более длинных кусочков было вдвое больше, чем коротких; то есть кусочков по 10 см было вдвое больше, чем по 5 см 10 : 5 = 2 раза - длина большего кусочка больше пусть длина всех маленьких кусочков = 1 часть тогда длина больших = 2 * 2 = 4 части ( так как в 2 раза длиннее каждый кусочек и их в 2 раза больше) 1 + 4 = 5 частей всего - длина длинных и коротких кусочков 300 : 5 = 60 см - это одна часть или общая длина всех маленьких кусочков 60 : 5 = 12 маленьких кусочков нужно 12 * 2 = 24 больших кусочка нужно ответ: 24 больших кусочка.
3) одних кусочков было на 15 больше, чем других? пусть х маленьких кусочков, тогда х+15 больших кусочков 5х см - длина маленьких кусочков 10(х+15) см = 10х+150 см - длина больших кусочков 5х + 10х + 150 = 300 15х = 300 - 150 15х = 150 х= 150 : 15 х = 10 кусочков маленьких 10 + 15 = 25 кусочков больших.
пусть х больших кусочков, х+15 маленьких кусочков 10х + 5 *(х + 15) = 300 10х + 5х + 75 = 300 15х = 300 - 75 15 х = 225 х = 225 : 15 х = 15 больших кусочков 15 + 15 = 30 маленьких кусочков ответ: 10 маленьких и 25 больших или 15 больших и 30 маленьких.
15) 1) Сколько было пришито пуговиц, если на пошив одеяла ушло: а) 10 лоскутов в ширину и 15 в длину; лоскуты соединяются только по середине между собой, значит 10 лоскутов по ширине будут соединяться в 9 местах 15 лоскутов в длину 15-1=14 местах 9 * 14 = 126 пуговиц ответ: 126 пуговиц
б) 15 лоскутов в ширину и 20 в длину? (15 - 1) * ( 20 - 1) = 14 * 19= 266 пуговиц ответ: 266 пуговиц
2) Сколько лоскутов в ширину и сколько в длину ушло на пошив одеяла, если было пришито 437 пуговиц? 437 представим в виде произведения двух целых чисел. 437 = 1 * 437 437 = 19 * 23 первый вариант не подходит, остается 19 пуговиц и 23 пуговицы, но нам нужно найти количество лоскутов, значит: 19 + 1 = 20 лоскутов в ширину и 23 + 1 = 24 лоскутов в длину ответ: 20 в ширину и 24 в длину.
16) 1) Сколько потребовалось палочек, если длина каждой палочки равна: а) 10 см; б) 5 см? 1 м = 100 см а) длина палочки 10 см 100 : 10 = 10 рядов по 10 квадратов если нарисовать такой квадрат, разделить его, то мы получим, что в нем 11 отрезков по вертикали и 11 отрезков по диагонали всего 11+11=22 отрезка длина каждого 100 см на каждом отрезке у нас сторона маленького квадрата и таких сторон 10, 22 * 10 = 220 палочек потребуется длиной 10 см ответ: 220 палочек
б) если длина палочки 5 см, то 100 : 5 = 20 квадратиков будет и 20 рядов,по вертикали теперь 21 отрезок и по горизонтали 21 отрезок, всего 21 + 21 = 42 отрезка 42 * 20 = 840 палочек длиной 5 см ответ: 840 палочек
2) Какова длина палочек, если их потребовалось 1300? в пункте б) мы посчитали, что при длине палочки 5 см, нужно 840 всего, значит нам нужна палочка меньше 5 см пусть 4 см, тогда 100 : 4 = 25 палочек на 100 см отрезков по вертикали и горизонтали длиной 100 см будет: 26 + 26 = 52 всего 52 * 25 = 1300 палочек потребуется длиной 4 см ответ: 4 см
17) 1) Сколько всего клея потребовалось, если кубиков было: а) 8; б) 27? а) 1 кубик - это 6 граней, 8 кубиков 6 * 8 = 48 граней так как из 8 кубиков мы склеили один куб, то в нем 6 граней, на каждой из которых грани от 4 маленьких кубиков. всего нужно склеить 48 : 2 = 24 грани так как склеивались они парами и требовался 1 г клея, то 24 : 2 = 12 г клея если кубиков 8. ответ: 12 г
б) 6 * 27 = 162 грани у 27 кубиков теперь на одной грани куба 9 граней маленьких кубиков 9 * 6 = 54 грани не будут склеиваться 162 - 54 = 108 граней нужно склеить, опять же, так как склеиваем парами, то 108 : 2 = 54 г клея нужно если 27 кубиков ответ: 54 г
Сколько было использовано кубиков, если потребовалось 300 г клея? 300 * 2 = 600 граней нужно было склеить, получается, что кубиков больше 100 и на одной стороне куба большого должно быть минимум 4 кубика маленьких, но 4* 4 * 4 = 64 - не подходит 5 * 5 * 5 = 125 кубиков в кубе получается 125 * 6 = 750 граней всего на каждой грани большого куба 25 граней маленьких кубиков, они не склеиваются и их: 25 * 6 = 150 750 - 150 = 600 граней нужно склеить 600 : 2 = 300 г клея нужно ( так как склеиваем парами) Было использовано 125 кубиков. ответ: 125 кубиков.
Задано AH/HA1 = 1; BH/HB1 = 2; надо найти CH/HC1;
Теорема Ван-Обеля дает
AC1/C1B + AB1/B1C = AH/HA1 = 1;
BC1/C1A + BA1/A1C = BH/HB1 = 2;
(AC1/C1B)*(BA1/A1C)*(CB1/B1A) = 1;
А найти надо CH/HC1 = CB1/B1A + CA1/A1B;
Вот теперь надо что-то делать, чтобы можно было с этим работать.
Пусть AC1/C1B = a; BA1/A1C = b; CB1/B1A = c;
тогда вся эта абракадабра переписывается так
a + 1/c = 1;
1/a + b = 2;
abc = 1;
и надо найти c + 1/b;
теперь видно, что эту систему очень легко решить.
из второго уравнения 1 + ab = 2a; => 1/c = 2a - 1; тогда из первого получается 3a - 1 = 1; a =2/3; далее b = 1/2; c = 3;
c + 1/b = 5 = CH/HC1;
это: 1000, 0100, 0010, 0001 итого 4 варианта
ответ: 4 варианта
2) код содержит цифры 0 и 1;
так как цифры 4 содержит код, составить его надо из 2-х цифр, то
всего вариантов 2*2*2*2=16, 16 - 2 = 14 ( убрали 0000 и 1111),
итого 14 вариантов
ответ: 14 вариантов
2) код содержит цифры 0 и 1;
сумма цифр кода нечётная. нечетность среди четырех чисел будет тогда, когда в коде будет среди 0 одна 1 или среди единиц один 0
0111, 1011, 1101, 1110, 1000, 0100, 0010, 0001 итого 8 вариантов
ответ: 8 вариантов
14) 1) их количество было одинаковым
5 + 10 = 15 см - общая длина отрезаемых кусочков
300 : 15 = 20 кусочков получим (20 по 5 см и 20 по 10см)
ответ: 20 по 5 см и 20 по 10 см
2) более длинных кусочков было вдвое больше, чем коротких;
то есть кусочков по 10 см было вдвое больше, чем по 5 см
10 : 5 = 2 раза - длина большего кусочка больше
пусть длина всех маленьких кусочков = 1 часть
тогда длина больших = 2 * 2 = 4 части ( так как в 2 раза длиннее каждый кусочек и их в 2 раза больше)
1 + 4 = 5 частей всего - длина длинных и коротких кусочков
300 : 5 = 60 см - это одна часть или общая длина всех маленьких кусочков
60 : 5 = 12 маленьких кусочков нужно
12 * 2 = 24 больших кусочка нужно
ответ: 24 больших кусочка.
3) одних кусочков было на 15 больше, чем других?
пусть х маленьких кусочков, тогда х+15 больших кусочков
5х см - длина маленьких кусочков
10(х+15) см = 10х+150 см - длина больших кусочков
5х + 10х + 150 = 300
15х = 300 - 150
15х = 150
х= 150 : 15
х = 10 кусочков маленьких
10 + 15 = 25 кусочков больших.
пусть х больших кусочков, х+15 маленьких кусочков
10х + 5 *(х + 15) = 300
10х + 5х + 75 = 300
15х = 300 - 75
15 х = 225
х = 225 : 15
х = 15 больших кусочков
15 + 15 = 30 маленьких кусочков
ответ: 10 маленьких и 25 больших или 15 больших и 30 маленьких.
15) 1) Сколько было пришито пуговиц, если на пошив одеяла ушло:
а) 10 лоскутов в ширину и 15 в длину;
лоскуты соединяются только по середине между собой, значит
10 лоскутов по ширине будут соединяться в 9 местах
15 лоскутов в длину 15-1=14 местах
9 * 14 = 126 пуговиц
ответ: 126 пуговиц
б) 15 лоскутов в ширину и 20 в длину?
(15 - 1) * ( 20 - 1) = 14 * 19= 266 пуговиц
ответ: 266 пуговиц
2) Сколько лоскутов в ширину и сколько в длину ушло на пошив одеяла, если было пришито 437 пуговиц?
437 представим в виде произведения двух целых чисел.
437 = 1 * 437 437 = 19 * 23
первый вариант не подходит, остается 19 пуговиц и 23 пуговицы, но нам нужно найти количество лоскутов, значит: 19 + 1 = 20 лоскутов в ширину и 23 + 1 = 24 лоскутов в длину
ответ: 20 в ширину и 24 в длину.
16) 1) Сколько потребовалось палочек, если длина каждой палочки равна: а) 10 см; б) 5 см?
1 м = 100 см
а) длина палочки 10 см
100 : 10 = 10 рядов по 10 квадратов
если нарисовать такой квадрат, разделить его, то мы получим, что в нем
11 отрезков по вертикали и 11 отрезков по диагонали
всего 11+11=22 отрезка длина каждого 100 см
на каждом отрезке у нас сторона маленького квадрата и таких сторон 10,
22 * 10 = 220 палочек потребуется длиной 10 см
ответ: 220 палочек
б) если длина палочки 5 см, то 100 : 5 = 20 квадратиков будет и 20 рядов,по вертикали теперь 21 отрезок и по горизонтали 21 отрезок,
всего 21 + 21 = 42 отрезка
42 * 20 = 840 палочек длиной 5 см
ответ: 840 палочек
2) Какова длина палочек, если их потребовалось 1300?
в пункте б) мы посчитали, что при длине палочки 5 см, нужно 840 всего, значит нам нужна палочка меньше 5 см
пусть 4 см, тогда
100 : 4 = 25 палочек на 100 см
отрезков по вертикали и горизонтали длиной 100 см будет:
26 + 26 = 52 всего
52 * 25 = 1300 палочек потребуется длиной 4 см
ответ: 4 см
17) 1) Сколько всего клея потребовалось, если кубиков было: а) 8; б) 27?
а) 1 кубик - это 6 граней, 8 кубиков 6 * 8 = 48 граней
так как из 8 кубиков мы склеили один куб, то в нем 6 граней, на каждой из которых грани от 4 маленьких кубиков.
всего нужно склеить 48 : 2 = 24 грани
так как склеивались они парами и требовался 1 г клея, то
24 : 2 = 12 г клея если кубиков 8.
ответ: 12 г
б) 6 * 27 = 162 грани у 27 кубиков
теперь на одной грани куба 9 граней маленьких кубиков
9 * 6 = 54 грани не будут склеиваться
162 - 54 = 108 граней нужно склеить, опять же, так как склеиваем парами, то
108 : 2 = 54 г клея нужно если 27 кубиков
ответ: 54 г
Сколько было использовано кубиков, если потребовалось 300 г клея?
300 * 2 = 600 граней нужно было склеить, получается, что кубиков больше 100 и на одной стороне куба большого должно быть минимум 4 кубика маленьких, но 4* 4 * 4 = 64 - не подходит
5 * 5 * 5 = 125 кубиков в кубе получается
125 * 6 = 750 граней всего
на каждой грани большого куба 25 граней маленьких кубиков, они не склеиваются и их: 25 * 6 = 150
750 - 150 = 600 граней нужно склеить
600 : 2 = 300 г клея нужно ( так как склеиваем парами)
Было использовано 125 кубиков.
ответ: 125 кубиков.