Найдите все пары двузначных натуральных чисел, у которых среднее в 25/24 раза меньше среднего арифметического. в ответе укажите наибольшее из средних для всех таких пар.
Пусть х и у - двузначные натуральные числа. среднее арифметическое - среднее геометрическое
- по условию
Решаем относительно у, как обычное квадратное уравнение, через дискриминант:
Осталось подобрать такие двузначные х, чтобы у был тоже двузначным. Для первого корня иксы такие: 18, 27, 36, 45 и 54, а игрек, соответственно: 32, 48, 64, 80 и 96. Для второго корня значения иксов и игреков поменяются местами.
х = 18, у = 32 x = 27, y = 48 x = 36, y = 64 x = 45, y = 80 x = 54, y = 96
Наибольшее среднее геометрическое из указанных пар:
Решаем относительно у, как обычное квадратное уравнение, через дискриминант:
Осталось подобрать такие двузначные х, чтобы у был тоже двузначным. Для первого корня иксы такие: 18, 27, 36, 45 и 54, а игрек, соответственно: 32, 48, 64, 80 и 96. Для второго корня значения иксов и игреков поменяются местами.
х = 18, у = 32
x = 27, y = 48
x = 36, y = 64
x = 45, y = 80
x = 54, y = 96
Наибольшее среднее геометрическое из указанных пар:
Среднее геометрическое двух чисел а и b: √(ab)
По условию ср. арифметическое в 25/24 больше ср. геометрического.
25/24*√(ab) = (a + b)/2
25√(ab) = 12(a + b)
Возводим все в квадрат.
625ab = 144(a^2 + 2ab + b^2)
144a^2 + 288ab - 625ab + 144b^2 = 0
144a^2 + 288ab - 625ab + 144b^2 = 0
144a^2 - 337ab + 144b^2 = 0
Делим всё на b^2
144(a/b)^2 - 337(a/b) + 144 = 0
Получили квадратное уравнение относительно (a/b).
D = 337^2 - 4*144*144 = 30625 = 175^2
(a/b)1 = (337 - 175)/288 = 162/288 = 81/144 = 9/16
a = 9x; b = 16x. Оба числа должны быть двузначными, подходят пары:
(a; b) = (18; 32); (27; 48); (36; 64); (45; 80); (54; 96)
(a/b)2 = (337 + 175)/288 = 512/288 = 256/144 = 16/9
a = 16x; b = 9x; получаются пары
(a; b) = (32; 18); (48; 27); (64; 36); (80; 45); (96; 54)
Максимальное среднее геометрическое
√(ab) = √(96*54) = √5184 = 72