Привет! Конечно, я могу помочь тебе решить эту систему неравенств. Давай разобьем ее на две части и найдем решения поочередно.
Первая часть системы: (x-1)(x-5)≤ 0
Чтобы найти решения этого неравенства, нам нужно рассмотреть знаки выражения (x-1)(x-5). Возможны 3 случая:
Случай 1: (x-1)(x-5) = 0
Это значит, что один из множителей равен 0. Так как (x-1) и (x-5) являются линейными многочленами, то мы можем решить систему уравнений и найти x. Следовательно, имеем два случая:
- x-1 = 0, откуда x = 1
- x-5 = 0, откуда x = 5
Случай 2: (x-1)(x-5) > 0
В этом случае оба множителя должны быть либо положительными, либо отрицательными. Рассмотрим два подслучая:
- Оба множителя положительны: x-1 > 0 и x-5 > 0
Решаем уравнения:
- x-1 > 0, откуда x > 1
- x-5 > 0, откуда x > 5
Здесь оба решения совместны только при x > 5. Другими словами, все значения x больше 5 удовлетворяют этому условию.
- Оба множителя отрицательны: x-1 < 0 и x-5 < 0
Решаем уравнения:
- x-1 < 0, откуда x < 1
- x-5 < 0, откуда x < 5
Здесь оба решения совместны только при x < 1. Другими словами, все значения x меньше 1 удовлетворяют этому условию.
Случай 3: (x-1)(x-5) < 0
В этом случае один множитель должен быть положительным, а другой отрицательным. Рассмотрим подслучай:
- Один множитель положительный, другой отрицательный: x-1 > 0 и x-5 < 0
Решаем уравнения:
- x-1 > 0, откуда x > 1
- x-5 < 0, откуда x < 5
Здесь значения x, которые удовлетворяют этому условию, находятся между 1 и 5, т.е. 1 < x < 5.
Теперь перейдем ко второй части системы: |x| ≤ 3
Это неравенство говорит нам, что значение абсолютного значения x должно быть меньше или равно 3. Здесь мы должны рассмотреть два случая:
Случай 1: |x| = 3
Это означает, что абсолютное значение x равно 3, что дает два решения:
- x = 3
- x = -3
Случай 2: |x| < 3
В этом случае абсолютное значение x должно быть меньше 3. Имеется бесконечное количество значений x, которые удовлетворяют этому условию. Например, x может быть 2, 1, -1, -2 и так далее, все в диапазоне между -3 и 3.
Таким образом, чтобы найти решения системы неравенств, мы должны объединить решения из первой и второй частей системы:
- Из первой части неравенства {(x-1)(x-5)≤ 0} мы получили следующие решения:
a) x = 1
b) x = 5
c) 1 < x < 5 (это промежуток значений между 1 и 5)
- Из второй части неравенства {|x| ≤ 3} мы получили следующие решения:
a) x = 3
b) x = -3
c) -3 < x < 3 (это промежуток значений между -3 и 3)
Итак, все эти решения вместе составляют множество значений x и удовлетворяют всей системе неравенств:
{x = 1, x = 5, 1 < x < 5, x = 3, x = -3, -3 < x < 3}
Надеюсь, это помогло! Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся задавать.
Первая часть системы: (x-1)(x-5)≤ 0
Чтобы найти решения этого неравенства, нам нужно рассмотреть знаки выражения (x-1)(x-5). Возможны 3 случая:
Случай 1: (x-1)(x-5) = 0
Это значит, что один из множителей равен 0. Так как (x-1) и (x-5) являются линейными многочленами, то мы можем решить систему уравнений и найти x. Следовательно, имеем два случая:
- x-1 = 0, откуда x = 1
- x-5 = 0, откуда x = 5
Случай 2: (x-1)(x-5) > 0
В этом случае оба множителя должны быть либо положительными, либо отрицательными. Рассмотрим два подслучая:
- Оба множителя положительны: x-1 > 0 и x-5 > 0
Решаем уравнения:
- x-1 > 0, откуда x > 1
- x-5 > 0, откуда x > 5
Здесь оба решения совместны только при x > 5. Другими словами, все значения x больше 5 удовлетворяют этому условию.
- Оба множителя отрицательны: x-1 < 0 и x-5 < 0
Решаем уравнения:
- x-1 < 0, откуда x < 1
- x-5 < 0, откуда x < 5
Здесь оба решения совместны только при x < 1. Другими словами, все значения x меньше 1 удовлетворяют этому условию.
Случай 3: (x-1)(x-5) < 0
В этом случае один множитель должен быть положительным, а другой отрицательным. Рассмотрим подслучай:
- Один множитель положительный, другой отрицательный: x-1 > 0 и x-5 < 0
Решаем уравнения:
- x-1 > 0, откуда x > 1
- x-5 < 0, откуда x < 5
Здесь значения x, которые удовлетворяют этому условию, находятся между 1 и 5, т.е. 1 < x < 5.
Теперь перейдем ко второй части системы: |x| ≤ 3
Это неравенство говорит нам, что значение абсолютного значения x должно быть меньше или равно 3. Здесь мы должны рассмотреть два случая:
Случай 1: |x| = 3
Это означает, что абсолютное значение x равно 3, что дает два решения:
- x = 3
- x = -3
Случай 2: |x| < 3
В этом случае абсолютное значение x должно быть меньше 3. Имеется бесконечное количество значений x, которые удовлетворяют этому условию. Например, x может быть 2, 1, -1, -2 и так далее, все в диапазоне между -3 и 3.
Таким образом, чтобы найти решения системы неравенств, мы должны объединить решения из первой и второй частей системы:
- Из первой части неравенства {(x-1)(x-5)≤ 0} мы получили следующие решения:
a) x = 1
b) x = 5
c) 1 < x < 5 (это промежуток значений между 1 и 5)
- Из второй части неравенства {|x| ≤ 3} мы получили следующие решения:
a) x = 3
b) x = -3
c) -3 < x < 3 (это промежуток значений между -3 и 3)
Итак, все эти решения вместе составляют множество значений x и удовлетворяют всей системе неравенств:
{x = 1, x = 5, 1 < x < 5, x = 3, x = -3, -3 < x < 3}
Надеюсь, это помогло! Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся задавать.