Найдите все стороны четырехугольника,в который можно вписать окружность.если 3 его угла острые и равны a,b,c.cторона прилежащая к углам a и b равна x.

Показать ответ

Ответ:

Krasnovadiana11

01.10.2020 21:25

Если вам нужно выразить каждую сторону через A,B,C,x

, пришел к такому.
Пусть у нас имеется четырехугольник abcd

. Соответственные углы равны A,B,C

, следовательно четвертый тупой угол 360-A-B-D

.
По теореме о биссектрисе четырехугольника , утверждает что биссектрисы каждого угла пересекаются в центре вписанной окружности. Обозначим его

.
Пусть отрезки биссектрис равны из вершины A,B,C,D

соответственно
Q,W,Y,G

. Радиус вписанной окружности

.
Так как радиус перпендикулярен касательной , по теореме Пифагора выразим
каждый отрезок биссектрисы , используя то что углы будут равны $\frac{A}{2};\frac{B}{2};\frac{C}{2}; \ 180-\frac{A+B+C}{2}$
$\frac{r}{sin\frac{A}{2}}=Q\\\\
\frac{r}{sin\frac{B}{2}}=W\\\\
\frac{r}{sin\frac{C}{2}}=Y\\\\
\frac{r}{sin\frac{A+B+C}{2}}=G$
Пусть стороны равны a,b,c,x

Так как в четырехугольник можно вписать окружность
x+a=b+c

По свойству, отрезки биссектрис в четырехугольнике
$\frac{Q}{Y}=\frac{bx}{ac}\\\\
 \frac{G}{W}=\frac{ab}{cx}$
Из условия выше получаем
$\frac{sin\frac{B}{2}*sin\frac{A}{2}}{sin\frac{A+B+C}{2}sin\frac{C}{2}}*x=a\\\\
\frac{sin\frac{C}{2}*sin\frac{A+B+C}{2}}{sin\frac{A}{2}*sin\frac{B}{2}}*c=b\\\\
$
так как
$x+a=b+c\\\\
x+\frac{sin\frac{B}{2}*sin\frac{A}{2}}{sin\frac{A+B+C}{2}sin\frac{C}{2}}*x=\frac{sin\frac{C}{2}*sin\frac{A+B+C}{2}}{sin\frac{A}{2}*sin\frac{B}{2}}*c+c\\\\
c=\frac{x+\frac{sin\frac{B}{2}*sin\frac{A}{2}}{sin\frac{A+B+C}{2}sin\frac{C}{2}}*x}{{sin\frac{A+B+C}{2}}{sin\frac{A}{2}*sin\frac{B}{2}}+1}}$
его можно упростить , откуда можно выразить и остальные стороны

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика