Если неравенство справедливо при некотором y ≠ 0, то оно будет удовлетворяться при y = 0, так как . Ну а если неравенство нарушается при всех y, то оно неверно и при y = 0 тоже. Поэтому можно проверять условие при y = 0. Задача тогда переписывается в виде: "Найдите все значения параметра а , для каждого из которых существует хотя бы одно число х, удовлетворяющее неравенству " Заметим, что можно переформулировать неравенство как
Представим себе график функции y(x) = 5|x - 2| + 3|x + a|. Модули обнуляются при x = 2 и x = -a. При отдалении влево от min(2, -a) и вправо от max(2, -a) функция возрастает, а при min(2, -a) <= x <= max(2, -a) функция линейная. Минимум на промежутке (-infty, min(2, -a)] достигается в точке x = min(2, -a). Минимум на промежутке [max(2, -a), infty) достигается в точке x = max(2, -a) Минимум на отрезке [min(2, -a), max(2, -a)] достигается в одном из концов (на этом отрезке функция линейна)
Таким образом,
Нам нужно, чтобы выполнялось неравенство min y(x) <= 9. С учетом последнего наблюдения это неравенство равносильно совокупности
Поэтому можно проверять условие при y = 0. Задача тогда переписывается в виде:
"Найдите все значения параметра а , для каждого из которых существует хотя бы одно число х, удовлетворяющее неравенству
Заметим, что можно переформулировать неравенство как
Представим себе график функции y(x) = 5|x - 2| + 3|x + a|. Модули обнуляются при x = 2 и x = -a. При отдалении влево от min(2, -a) и вправо от max(2, -a) функция возрастает, а при min(2, -a) <= x <= max(2, -a) функция линейная.
Минимум на промежутке (-infty, min(2, -a)] достигается в точке x = min(2, -a).
Минимум на промежутке [max(2, -a), infty) достигается в точке x = max(2, -a)
Минимум на отрезке [min(2, -a), max(2, -a)] достигается в одном из концов (на этом отрезке функция линейна)
Таким образом,
Нам нужно, чтобы выполнялось неравенство min y(x) <= 9. С учетом последнего наблюдения это неравенство равносильно совокупности
ответ. -5 <= a <= 1.