Для того чтобы найти значения параметра a, при которых система уравнений имеет ровно четыре различных решения, нужно рассмотреть два случая: когда параметр a равен 0 и когда параметр a не равен 0.
1. Когда a = 0:
Подставим a = 0 в оба уравнения системы. Получим систему уравнений:
x^2 + y = xy + x
x^2 + y - xy - x = 0
x(x - y - 1) + (y - 1) = 0
Уравнение x(x - y - 1) + (y - 1) = 0 может быть разложено на два линейных уравнения:
x - y - 1 = 0
y - 1 = 0
Решим первое уравнение:
x - y - 1 = 0
y = x - 1
Подставим это значение y в уравнение y - 1 = 0:
x - 1 - 1 = 0
x - 2 = 0
x = 2
Таким образом, при a = 0 система имеет одно решение (2, 1).
2. Когда a ≠ 0:
Подставим уравнение ax^2+ay^2-(2a-5)x+1+2ay=0 в уравнение x^2 + y - xy - x = 0:
(ax^2+ay^2-(2a-5)x+1+2ay) + y - (ax^2 + yx + x) = 0
ax^2 + ay^2 - (2a-5)x + 1 + 2ay + y - ax^2 - yx - x = 0
ay^2 + 2ay + y - x - (2a-5)x + 1 = 0
Рассмотрим уравнение ay^2 + 2ay + y - x - (2a-5)x + 1 = 0:
Уравнение является квадратным относительно переменной y. Для того чтобы оно имело четыре различных решения, дискриминант квадратного уравнения должен быть положительным.
Дискриминант D выражается как: D = (2a + 1)^2 - 4a(1 - (2a - 5))
Раскроем скобки и упростим:
D = 4a^2 + 4a + 1 - 4a + 10a - 20a^2 + 20
D = -16a^2 + 14a + 21
Для того чтобы найти значения параметра a, при которых D > 0, нужно решить неравенство:
-16a^2 + 14a + 21 > 0
1. Когда a = 0:
Подставим a = 0 в оба уравнения системы. Получим систему уравнений:
x^2 + y = xy + x
x^2 + y - xy - x = 0
x(x - y - 1) + (y - 1) = 0
Уравнение x(x - y - 1) + (y - 1) = 0 может быть разложено на два линейных уравнения:
x - y - 1 = 0
y - 1 = 0
Решим первое уравнение:
x - y - 1 = 0
y = x - 1
Подставим это значение y в уравнение y - 1 = 0:
x - 1 - 1 = 0
x - 2 = 0
x = 2
Таким образом, при a = 0 система имеет одно решение (2, 1).
2. Когда a ≠ 0:
Подставим уравнение ax^2+ay^2-(2a-5)x+1+2ay=0 в уравнение x^2 + y - xy - x = 0:
(ax^2+ay^2-(2a-5)x+1+2ay) + y - (ax^2 + yx + x) = 0
ax^2 + ay^2 - (2a-5)x + 1 + 2ay + y - ax^2 - yx - x = 0
ay^2 + 2ay + y - x - (2a-5)x + 1 = 0
Рассмотрим уравнение ay^2 + 2ay + y - x - (2a-5)x + 1 = 0:
Уравнение является квадратным относительно переменной y. Для того чтобы оно имело четыре различных решения, дискриминант квадратного уравнения должен быть положительным.
Дискриминант D выражается как: D = (2a + 1)^2 - 4a(1 - (2a - 5))
Раскроем скобки и упростим:
D = 4a^2 + 4a + 1 - 4a + 10a - 20a^2 + 20
D = -16a^2 + 14a + 21
Для того чтобы найти значения параметра a, при которых D > 0, нужно решить неравенство:
-16a^2 + 14a + 21 > 0
1) Факторизуем левую часть неравенства:
(-2a + 3)(8a + 7) > 0
2) Решим неравенство:
a < 3/2 или a > -7/8
Таким образом, система уравнений имеет ровно четыре различных решения при значениях параметра a, удовлетворяющих неравенству a < 3/2 или a > -7/8.
Все полученные значения a нужно проверить в исходной системе уравнений, чтобы убедиться, что они действительно удовлетворяют условиям задачи.