Рассмотрим трёх подряд стоящих кенгуру с номерами 2 , 3 и 4 .
По условию, если второй кенгуру серый, то кенгуру 3 и 4 не серые ,
так как в любой произвольной тройке встречаются кенгуру всех трёх цветов .
Рассмотрим тройку кенгуру с номерами 3, 4 и 5 . Так как кенгуру 3 и 4 не серые , то пятый кенгуру серый и так далее . Таким образом кенгуру одного цвета образуют арифметическую прогрессию с разностью равной 3 . Пусть второй и 2021 -й кенгуру действительно серые .
Тогда должно выполняться равенство :
2 + 3(n - 1) = 2021 , где n - число кенгуру серого цвета . Отсюда :
3n = 2022 и n = 674 . Допустим что кенгуру под номером 1 красный .
Тогда 1 + 3(n - 1) = 202 , где n - число кенгуру красного цвета до
202 - го номера . Отсюда 3n = 204 и n = 68 .
Красный кенгуру не может быть третьим, так как тогда :
3 + 3(n - 1) = 202
n = 202 : 3 - не натуральное число .
Значит первый кенгуру красный, второй - серый, а третий синий, но тогда для синих кенгуру :
3 + 3(n - 1) = 20
n = 20 : 3 - не натуральное число .
Значит, Боря ошибся с двадцатым кенгуру, не угадав его цвет .
Допустим, что 20 - й кенгуру действительно синий, тогда синим будет и второй кенгуру, так как :
2 + 3(n - 1) = 20
n =21 : 3 = 7 - есть натуральное число .
Тогда Боря ошибся с серыми кенгуру с номерами 2 и 2021 .
Но, по условию он ошибся только один раз. Следовательно, серых и красных кенгуру он угадал правильно и ошибся с номером 20 .
Рассмотрим трёх подряд стоящих кенгуру с номерами 2 , 3 и 4 .
По условию, если второй кенгуру серый, то кенгуру 3 и 4 не серые ,
так как в любой произвольной тройке встречаются кенгуру всех трёх цветов .
Рассмотрим тройку кенгуру с номерами 3, 4 и 5 . Так как кенгуру 3 и 4 не серые , то пятый кенгуру серый и так далее . Таким образом кенгуру одного цвета образуют арифметическую прогрессию с разностью равной 3 . Пусть второй и 2021 -й кенгуру действительно серые .
Тогда должно выполняться равенство :
2 + 3(n - 1) = 2021 , где n - число кенгуру серого цвета . Отсюда :
3n = 2022 и n = 674 . Допустим что кенгуру под номером 1 красный .
Тогда 1 + 3(n - 1) = 202 , где n - число кенгуру красного цвета до
202 - го номера . Отсюда 3n = 204 и n = 68 .
Красный кенгуру не может быть третьим, так как тогда :
3 + 3(n - 1) = 202
n = 202 : 3 - не натуральное число .
Значит первый кенгуру красный, второй - серый, а третий синий, но тогда для синих кенгуру :
3 + 3(n - 1) = 20
n = 20 : 3 - не натуральное число .
Значит, Боря ошибся с двадцатым кенгуру, не угадав его цвет .
Допустим, что 20 - й кенгуру действительно синий, тогда синим будет и второй кенгуру, так как :
2 + 3(n - 1) = 20
n =21 : 3 = 7 - есть натуральное число .
Тогда Боря ошибся с серыми кенгуру с номерами 2 и 2021 .
Но, по условию он ошибся только один раз. Следовательно, серых и красных кенгуру он угадал правильно и ошибся с номером 20 .
ответ : 20
Все дроби, равные \dfrac45
5
4
, имеют вид \dfrac{4k}{5k}
5k
4k
, где k - целое и k≠0.
По условию 43 < 4k < 63, найдём k, а затем и сами дроби.
\begin{gathered}\dfrac{43}4
При k=11:
\dfrac{4k}{5k} =\dfrac{4\cdot 11}{5\cdot 11} =\dfrac{44}{55}
5k
4k
=
5⋅11
4⋅11
=
55
44
При k=12:
\dfrac{4k}{5k} =\dfrac{4\cdot 12}{5\cdot 12} =\dfrac{48}{60}
5k
4k
=
5⋅12
4⋅12
=
60
48
При k=13:
\dfrac{4k}{5k} =\dfrac{4\cdot 13}{5\cdot 13} =\dfrac{52}{65}
5k
4k
=
5⋅13
4⋅13
=
65
52
При k=14:
\dfrac{4k}{5k} =\dfrac{4\cdot 14}{5\cdot 14} =\dfrac{56}{70}
5k
4k
=
5⋅14
4⋅14
=
70
56
При k=15:
\dfrac{4k}{5k} =\dfrac{4\cdot 15}{5\cdot 15} =\dfrac{60}{75}
5k
4k
=
5⋅15
4⋅15
=
75
60
ответ: 44/55; 48/60; 52/65; 56/70 и 60/75.