Найдутся ли 11 натуральных чисел, делящихся на 11, в записи которых использованы по 1 разу: а) все цифры от 0 до 9? б) все цифры от 0 до 8? в) все цифры от 0 до 5?
Полезно вспомнить критерий делимости на 11: число делится на 11, если и только если разность сумм цифр, стоящих на четных и нечетных местах, делится на 11.
а) да, например: 2051637489, 2051638479, 2051736489, 2051738469, 2051836479, 2051837469, 2061537489, 2061538479, 2061735489, 2061738459, 2061835479 (на чётных местах стоят числа 0, 1, 3, 4, 9; на нечётных - 2, 5, 6, 7, 8 в каком-то порядке. Разность сумм равна 11, все эти числа делятся на 11 по написанному выше признаку)
б) да, например: 102536478, 102536874, 102546378, 102546873, 102586374, 102586473, 103526478, 103526874, 103546278, 103546872, 103586274 (всё по тому же принципу, на четных местах стоят 0, 5, 6, 7; на нечетных 1, 2, 3, 4, 8 в каком-то порядке. Разность сумм равна 0 - делится на 11)
в) нет. Сумма всех цифр от 0 до 5 равна 15 - нечетное число. На четных и нечетных местах должны стоять по 3 цифры, при этом разность сумм должна делиться на 11. Разность не может быть равна 0 (сумма четная), не может быть больше 11 (вся сумма 15, никакая частичная сумма не может быть 22 или больше). Тогда разность сумм равна 11, одна сумма должна быть равна 2, другая 13. Но три числа, взятые от 0 до 5 по одному разу, не могут дать сумму 2.
а) да, например:
2051637489, 2051638479, 2051736489, 2051738469, 2051836479, 2051837469, 2061537489, 2061538479, 2061735489, 2061738459, 2061835479
(на чётных местах стоят числа 0, 1, 3, 4, 9; на нечётных - 2, 5, 6, 7, 8 в каком-то порядке. Разность сумм равна 11, все эти числа делятся на 11 по написанному выше признаку)
б) да, например:
102536478, 102536874, 102546378, 102546873, 102586374, 102586473, 103526478, 103526874, 103546278, 103546872, 103586274
(всё по тому же принципу, на четных местах стоят 0, 5, 6, 7; на нечетных 1, 2, 3, 4, 8 в каком-то порядке. Разность сумм равна 0 - делится на 11)
в) нет. Сумма всех цифр от 0 до 5 равна 15 - нечетное число. На четных и нечетных местах должны стоять по 3 цифры, при этом разность сумм должна делиться на 11. Разность не может быть равна 0 (сумма четная), не может быть больше 11 (вся сумма 15, никакая частичная сумма не может быть 22 или больше). Тогда разность сумм равна 11, одна сумма должна быть равна 2, другая 13. Но три числа, взятые от 0 до 5 по одному разу, не могут дать сумму 2.