Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найти частное решение дифференциального уравнения:

Показать ответ

Ответ:

Kvasya07

17.08.2020 15:51

Перепишем данное дифференциальное уравнение в виде:

$y'+\dfrac{y}{x^2}=-\dfrac{1}{x^3}$

Умножив обе части уравнения на $\mu(x)=e^{\int \frac{dx}{x^2}}=e^{-1/x}$ , мы получим

$e^{-1/x}\cdot y'+e^{-1/x}\cdot \dfrac{y}{x^2}=-\dfrac{e^{-1/x}}{x^3}\\ \\ \\ \Big(e^{-1/x}\cdot y\Big)'=-\dfrac{e^{-1/x}}{x^3}$

Интегрируем обе части уравнения

$e^{-1/x}\cdot y=\displaystyle \int -\dfrac{e^{-1/x}}{x^3}dx$

Решим интеграл стоящий справа уравнения отдельно

$\displaystyle \int -\dfrac{e^{-1/x}dx}{x^3}=\Big\{\dfrac{1}{x}=t;~ dy=-\dfrac{dx}{x^2}\Big\}=\int te^{-t}dt=\left\{\begin{array}{ccc}u=t;~~ du=dt\\ \\ dv=e^{-t}dt;~~ v=-e^{-t}\end{array}\right\}=$

$=\displaystyle -te^{-t}+\int e^{-t}dt=-te^{-t}-e^{-t}+C=-e^{-1/x}\Big(\dfrac{1}{x}+1\Big)+C$

Получаем

$y=-\dfrac{1}{x}-1+Ce^{-1/x}$ — общее решение

Подставляя начальные условия, найдем константу C

$0=-1-1+Ce^{-1}\\ \\ Ce^{-1}=2\\ \\ C=2e$

Частное решение: $y=-\dfrac{1}{x}-1+2e\cdot e^{-1/x}=-\dfrac{1}{x}-1+2e^{\frac{x-1}{x}}$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

Llirika

30.01.2022 15:25

Построить прямоугольник,ширина которого равна 5 см,а длина на 2 см больше.вычислите его периметр и площадь...

dancevera2017

30.01.2022 15:25

:а) 1+3+5+? +49 б)2+4+6+? +50 в)11+12+13+? +99 г)12+14+16+? +98...

yulyatimonen

30.01.2022 15:25

Запишите смешанные дроби в виде десятичной 1 2/10 , 30 3/10 , 4 368/1000 , 675 52/10000 , 100 4567/100000...

MaryVasili

30.01.2022 15:25

(3\4-0,625): 1\8-(3 5\6-3 7\12): (0,358-108)...

ДарьяСв

30.01.2022 15:25

12дм4см-8дм6см= 4м6дм+2м8см= 3м4дм-28см= 13т8ц-29ц= 2ц45кг-64= 1м8дм+15смсм= 1м-64см= 8дм3см= 500кг-2ц=...

ghhgbg

30.01.2022 15:25

Найти множества значения выражения 7552+а+243 для всех значений переменной а из множества (24,408,5229)...

gustzhatetskiy

30.01.2022 15:25

Выражение 2^2 * 2^14 \ (2^2)^4 *2^7...

kimiKatocom

30.01.2022 15:25

Запишите по 2 трехзначных числа делящиеся а) на 2 б)на 5 в)на 10 г)на 3 д)на 9 е)на 3 и на 5 ж) на 5 и на 9...

vlad499999

30.01.2022 15:25

Смешали два сорта конфет m кг по a тенге за 1 кг и n кг по b тенге за 1 кг. сколько стоит 1 кг смеси? составьте выражение для решения и найдите его числовое значение при а=19,...

Ramires1

30.01.2022 15:25

Верны ли утверждения? 1.к жилым помещениям относят жилой дом,многоквартирный дом,квартиру,комнату-да-или-нет- 2.ритм в композиции интерьера задается сочетанием темных и светлых...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку