Найти частное решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
1. y'' - 6 y' + 13 = 0, если у = 1, y' = 5 при х= = 0

2. y'' + 8 y' + 16 = 0, если у = 1, y' = 1 при х= = 0

3. y'' - 2 y' - 3 = 0, если у = 8, y' = 0 при х= = 0

4. y'' + y' - 20 = 0, если у = 9/5, y' = 0 при х= = 0

Пусть х - скорость туриста по грунтовой дороге.
Тогда х+2 - скорость туриста по шоссе.
6/х - время, затраченное туристом на путь по грунтовой дороге.
3/(х+2) - время, затраченное туристом на путь по шоссе.

Уравнение:
6/х + 3/(х+2) = 2 |умножим обе части на х(х+2):
6х(х+2)/х + 3х(х+2)/(х+2) = 2х(х+2)
3
6(х+2) + 3х = 2х(х+2)
6х + 12 + 3х = 2х² + 4х
2х² + 4х - 6х - 3х - 12 = 0
2х² - 5х - 12 = 0
D = 5² -4•2•(-12) = 25 + 96 = 121
√D = √121 = 11
х1 = (5 + 11)/(2•2) = 16/4 = 4 км/ч - скорость, с которой турист шел по грунтовой дороге.
х2 = (5 - 11)/(2•2) = -6/4 = -1,5 - не подходит к условию задачи.

ответ: 4 км/ч.

Проверка
1) 4 + 2 = 6 км/ч - скорость по шоссе.
2) 6 : 4 = 1,5 часа шел по грунтовой дороге.
3) 3 : 6 = 0,5 часа шел по шоссе.
4) 1,5 + 0,5 = 2 часа потрачено на весь путь

1.
Log₂ X + log₂ (x-3) = 2
log₂ (x(x-3)) = log₂ 2²
log₂ (x²-3x) = log₂ 4

{x>0
{x-3>0
{x²-3x=4

{x>0
{x>3

x>3

x²-3x=4
x²-3x-4=0
D=(-3)² - 4*1*(-4)=9+16=25
x₁=3-5 = -1 - не подходит.
      2
x₂ = 3+5 =4
         2
ответ: 4.

2.
4sin²x - sinx cosx - 3 cos²x=0
4sin²x - sinx cosx - 3 cos²x=   0   
 cos²x      cos²x        cos²x    cos²x
4tg²x - tgx -3 =0
Пусть tgx=y
4y² -y -3=0
D=1-4*4*(-3)=1+48=49
y₁=1-7= -6/8 = -3/4
       8
y₂=1+7=1
       8

При у=-3/4
tgx=-3/4
x= -arctg(3/4) +πn, n∈Z

При у=1
х=π/4 + πn, n∈Z

ответ: х=-arctg(3/4)+πn, n∈Z
           x=π/4 + πn, n∈Z