Найти частное решение дифференциального уравнения,удовлетворяющее данным начальным условиям. y"-6y'- 25y= 9sin4x-24cos4x y(0)=2, y'(0)=-2

Решение: решим линейное неоднородное уравнение второго порядка

y′′+2y′+2y=2x2+8x+6при заданных начальных условиях y(0)=1,y′(0)=4
Алгоритм решения линейного неоднородного дифференциального уравнение второго порядка

1. Решаем однородное уравнение y′′+2y′+2y=0
Решение будем искать в виде y=eλx, тогда y'=λeλx;y''=λ2eλx. 
Подставляем функцию и ее производные в дифференциальное уравнение 

λ2eλx+2λeλx+2eλx=0=>сокращаем на eλx, получаем характеристическое уравнение (это уравнение в следующий раз составим сразу без предыдущих пояснений) 
λ2+2λ+2=0=> найдем корни характеристического уравнения λ1,2=−2±4−8−−−−√2=>λ1=−1−i;λ2=−1+i
Получили комплексно сопряженные корни, им соответствуют два решения y1(x)=e−xcos(x);y2(x)=e−xsin(x)
Общее решение однородного уравнения будет линейная комбинация yодн=C1e−xcos(x)+C2e−xsin(x)

2. Решаем неоднородное уравнение y′′+2y′+2y=2x2+8x+6
Найдем частное решение неоднородного дифференциального уравнения, ищем методом вариации произвольной переменной постоянной C1=C1(x);C2=C2(x) в виде yчаст(x)=C1(x)e−xcos(x)+C2(x)e−xsin(x)(1). 

Для нахождения функций C1(x);C2(x), подставим результаты в систему с учетом 
y′1(x)=(e−xcos(x))′=−e−x(cos(x)+sin(x))
y′2(x)=(e−xsin(x))′=e−x(cos(x)−sin(x))

⎧⎩⎨⎪⎪C'1(x)y1(x)+C'2(x)y2(x)=0C'1(x)y'1(x)+C'2(x)y'2(x)=b(x)a0(x)получаем
{C'1(x)e−xcos(x)+C'2(x)e−xsin(x)=0C'1(x)(−e−x(cos(x)+sin(x)))+C'2(x)(e−x(cos(x)−sin(x)))=2x2+8x+6=>
{C'1(x)cos(x)+C'2(x)sin(x)=0−C'1(x)(cos(x)+sin(x))+C'2(x)(cos(x)−sin(x))=(2x2+8x+6)ex
решаем систему уравнений методом Крамера и находим интегралы.
C1(x)=∫∣∣∣0(2x2+8x+6)exsin(x)cos(x)−sin(x)∣∣∣∣∣∣cos(x)−(cos(x)+sin(x))sin(x)cos(x)−sin(x)∣∣∣dx=
=∫−sin(x)(2x2+8x+6)excos(x)(cos(x)−sin(x))+sin(x)(cos(x)+sin(x))dx==∫−sin(x)(2x2+8x+6)excos2(x)−cos(x)sin(x)+sin(x)cos(x)+sin2(x)dx==−∫sin(x)(2x2+8x+6)exdx==−ex((x2+4x+2)sin(x)−x(x+2)cos(x))
C2(x)=∫∣∣∣cos(x) cos(x)+sin(x)0 (2x2+8x+6)ex ∣∣∣∣∣∣cos(x)−(cos(x)+sin(x))sin(x)cos(x)−sin(x)∣∣∣dx=
=∫cos(x)(2x2+8x+6)excos(x)(cos(x)−sin(x))+sin(x)(cos(x)+sin(x))dx==∫cos(x)(2x2+8x+6)excos2(x)−cos(x)sin(x)+sin(x)cos(x)+sin2(x)dx==∫cos(x)(2x2+8x+6)exdx==ex((x2+4x+2)cos(x)+x(x+2)sin(x)) 

Подставляем результат в (1) и получаем частное неоднородное решение дифференциального уравнения 

yчаст=  −ex((x2+4x+2)sin(x)−x(x+2)cos(x))∗e−xcos(x)++ex((x2+4x+2)cos(x)+x(x+2)sin(x))∗e−xsin(x)=
=x(x+2)cos2(x)+x(x+2)sin2(x) = x2+2x    

3. Получаем общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения вида  yоб=yодн+yчаст 
подставляем результаты из п.1,п.2

yоб= C1e−xcos(x)+C2e−xsin(x)+ x2+2x

4. Решаем задачу Коши при начальных условиях  y(0)=1,y′(0)=4 
Находим значения констант при заданных начальных условиях Коши
Находим значение функции при условии y(0)=1

yоб(0)= C1e−xcos(x)+C2e−xsin(x)+ x2+2x=1=> C1 =1
Находим производную y′(x)
y′об= C1e−xcos(x)+C2e−xsin(x)+ x2+2x==−C1e−xcos(x)−C1e−xsin(x)−C2e−xsin(x)+C2e−xcos(x)+2x+2
при условии y′(0)=4
y′об(0) =−C1+C2+2=4
Составляем систему уравнений и решаем ее{C1=1−C1+C2=2=> {C1=1C2=3 
Подставляем результат в п.3, получаем общее решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях Коши
yоб=e−xcos(x)+3e−xsin(x)+ x2+2x 
ответ: решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее начальному условию Каши yоб=e−xcos(x)+3e−xsin(x)+ x2+2x