Для решения данного дифференциального уравнения, мы можем использовать метод разделения переменных.
Исходное уравнение выглядит следующим образом: y ln y * xy' = 0.
Для начала разделим переменные. Для этого разделим обе части уравнения на y ln y и переместим y' на одну сторону уравнения, а y ln y на другую сторону:
dy/y ln y = 0 / x dx.
После этого интегрируем обе части уравнения:
∫(dy/y ln y) = ∫(0/x)dx.
Правую часть интеграла можно упростить:
∫(dy/y ln y) = ∫0 dx.
Чтобы вычислить левую часть уравнения, воспользуемся методом замены переменной. Пусть u = ln y. Тогда du = 1/y dy.
Заменив переменные, получим:
∫(du/u) = ∫0 dx.
Вычислим интеграл левой части уравнения:
ln |u| = C1, где C1 - постоянная интегрирования.
Заменим обратно переменную u на ln y:
ln |ln y| = C1.
Теперь решим это уравнение относительно y.
Возведем обе части уравнения в экспоненту:
e^(ln|ln y|) = e^C1.
Так как экспонента и логарифм являются взаимообратными операциями, e^ln x = x. Поэтому выражение перепишется следующим образом:
|ln y| = e^C1.
Уберем модуль, получим:
ln y = ±e^C1.
Теперь найдем e^C1. Используем начальное условие y(1) = e:
ln e = ±e^C1.
Так как ln e = 1, получаем:
1 = ± e^C1.
Рассмотрим два случая:
1. Если 1 = e^C1, то C1 = 0. В этом случае, ln y = ±1. Переведем это в экспоненциальную форму:
y = e^(±1).
2. Если 1 = - e^C1, то C1 = ln(-1). Однако логарифм отрицательного числа не определен в обычных вещественных числах, поэтому этот случай нам не подходит.
Таким образом, получаем два частных решения: y = e и y = 1/e.
Проверим решение исходного дифференциального уравнения, подставив найденные значения y:
При y = e:
y ln y * xy' = e ln e * x * 0 = 0. Условие выполняется.
При y = 1/e:
y ln y * xy' = (1/e) ln (1/e) * x * 0 = 0. Условие также выполняется.
Таким образом, найденные частные решения удовлетворяют исходному дифференциальному уравнению и начальному условию.
Исходное уравнение выглядит следующим образом: y ln y * xy' = 0.
Для начала разделим переменные. Для этого разделим обе части уравнения на y ln y и переместим y' на одну сторону уравнения, а y ln y на другую сторону:
dy/y ln y = 0 / x dx.
После этого интегрируем обе части уравнения:
∫(dy/y ln y) = ∫(0/x)dx.
Правую часть интеграла можно упростить:
∫(dy/y ln y) = ∫0 dx.
Чтобы вычислить левую часть уравнения, воспользуемся методом замены переменной. Пусть u = ln y. Тогда du = 1/y dy.
Заменив переменные, получим:
∫(du/u) = ∫0 dx.
Вычислим интеграл левой части уравнения:
ln |u| = C1, где C1 - постоянная интегрирования.
Заменим обратно переменную u на ln y:
ln |ln y| = C1.
Теперь решим это уравнение относительно y.
Возведем обе части уравнения в экспоненту:
e^(ln|ln y|) = e^C1.
Так как экспонента и логарифм являются взаимообратными операциями, e^ln x = x. Поэтому выражение перепишется следующим образом:
|ln y| = e^C1.
Уберем модуль, получим:
ln y = ±e^C1.
Теперь найдем e^C1. Используем начальное условие y(1) = e:
ln e = ±e^C1.
Так как ln e = 1, получаем:
1 = ± e^C1.
Рассмотрим два случая:
1. Если 1 = e^C1, то C1 = 0. В этом случае, ln y = ±1. Переведем это в экспоненциальную форму:
y = e^(±1).
2. Если 1 = - e^C1, то C1 = ln(-1). Однако логарифм отрицательного числа не определен в обычных вещественных числах, поэтому этот случай нам не подходит.
Таким образом, получаем два частных решения: y = e и y = 1/e.
Проверим решение исходного дифференциального уравнения, подставив найденные значения y:
При y = e:
y ln y * xy' = e ln e * x * 0 = 0. Условие выполняется.
При y = 1/e:
y ln y * xy' = (1/e) ln (1/e) * x * 0 = 0. Условие также выполняется.
Таким образом, найденные частные решения удовлетворяют исходному дифференциальному уравнению и начальному условию.