Для нахождения частного решения уравнения, мы можем использовать метод разделения переменных.
Начнем с исходного уравнения:
y'√(1-x^2) = x
Давайте разделим обе части уравнения, чтобы отделить переменные:
dy/√(1-x^2) = x dx
Теперь проинтегрируем обе части уравнения. Запишем левую часть как интеграл от dy, а правую - как интеграл от x dx:
∫(dy/√(1-x^2)) = ∫x dx
Для интегрирования левой части воспользуемся заменой переменных:
Заметим, что √(1-x^2) - это производная арксинуса sin^(-1)(x). Поэтому можем выполнить замену sin^(-1)(x) = t.
Заменим √(1-x^2) на dt/dx:
dy/dt * dt/dx = x
dy/dt = x * dt/dx
Теперь выразим dy через dt, умножив обе части уравнения на dt:
dy = x * dt
Теперь проинтегрируем обе части уравнения по переменной t:
∫dy = ∫x dt
Интегрируя, получим:
y = ∫x dt
Теперь проинтегрируем правую часть уравнения по переменной t:
y = ∫x dt = (∫t dt) - (∫1 dt)
y = (1/2)t^2 - t + C
Где C - это постоянная интегрирования.
Теперь вернемся к исходным переменным x и y. Чтобы найти значение С, используем начальное условие, которое у нас есть: y=0 при x=1. Подставим эти значения в уравнение:
0 = (1/2)(sin^(-1)(1))^2 - sin^(-1)(1) + C
sin^(-1)(1) равен Pi/2, и мы получаем:
0 = (1/2)(Pi/2)^2 - Pi/2 + C
0 = (Pi^2)/8 - Pi/2 + C
C = Pi/2 - (Pi^2)/8
Таким образом, частное решение уравнения y'√(1-x^2)=x, при условии y=0 при х=1, будет выглядеть следующим образом:
Начнем с исходного уравнения:
y'√(1-x^2) = x
Давайте разделим обе части уравнения, чтобы отделить переменные:
dy/√(1-x^2) = x dx
Теперь проинтегрируем обе части уравнения. Запишем левую часть как интеграл от dy, а правую - как интеграл от x dx:
∫(dy/√(1-x^2)) = ∫x dx
Для интегрирования левой части воспользуемся заменой переменных:
Заметим, что √(1-x^2) - это производная арксинуса sin^(-1)(x). Поэтому можем выполнить замену sin^(-1)(x) = t.
Заменим √(1-x^2) на dt/dx:
dy/dt * dt/dx = x
dy/dt = x * dt/dx
Теперь выразим dy через dt, умножив обе части уравнения на dt:
dy = x * dt
Теперь проинтегрируем обе части уравнения по переменной t:
∫dy = ∫x dt
Интегрируя, получим:
y = ∫x dt
Теперь проинтегрируем правую часть уравнения по переменной t:
y = ∫x dt = (∫t dt) - (∫1 dt)
y = (1/2)t^2 - t + C
Где C - это постоянная интегрирования.
Теперь вернемся к исходным переменным x и y. Чтобы найти значение С, используем начальное условие, которое у нас есть: y=0 при x=1. Подставим эти значения в уравнение:
0 = (1/2)(sin^(-1)(1))^2 - sin^(-1)(1) + C
sin^(-1)(1) равен Pi/2, и мы получаем:
0 = (1/2)(Pi/2)^2 - Pi/2 + C
0 = (Pi^2)/8 - Pi/2 + C
C = Pi/2 - (Pi^2)/8
Таким образом, частное решение уравнения y'√(1-x^2)=x, при условии y=0 при х=1, будет выглядеть следующим образом:
y = (1/2)t^2 - t + (Pi/2 - (Pi^2)/8)
где t = sin^(-1)(x).