В
Все
М
Математика
О
ОБЖ
У
Українська мова
Х
Химия
Д
Другие предметы
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
М
Музыка
Э
Экономика
Ф
Физика
Б
Биология
О
Окружающий мир
У
Українська література
Р
Русский язык
Ф
Французский язык
П
Психология
О
Обществознание
А
Алгебра
М
МХК
Г
География
И
Информатика
П
Право
А
Английский язык
Г
Геометрия
Қ
Қазақ тiлi
Л
Литература
И
История
anast1sava
anast1sava
23.04.2023 17:31 •  Математика

Найти градиент функции z=f(x,y) в точке a и производную этой функции в направлении вектора ab в точке a. постройте линию уровня функции z=f(x,y), проходящую через точку a, и найденный градиент с началом в точке a z=-x^2/4-y^2 a(3; 2) b(6; -2)

Показать ответ
Ответ:
nam0
nam0
28.06.2020 21:11
Пример №1. Дана функция z=z(x,y), точка A(x0,y0) и вектор a. Найти: 
1) grad z в точке А; 2) производную данной функции в точке А в направлении вектора a.Решение. 
z = 5*x^2*y+3*x*y^2
Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.:

Находим частные производные:

Тогда величина градиента равна:

Найдем градиент в точке А(1;1)

или

Модуль grad(z):

Направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами:

Найдем производную в точке А по направлению вектора а(6;-8).

Найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы:

Модуль вектора |a| равен:

тогда направляющие косинусы:

Для вектора a имеем:

Если ∂z/∂a > 0, то заданная функция в направлении вектора a возрастает.
Если ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает.Пример №2. Даны z=f(x; y), А(х0, у0). 
Найти а) градиент функции z=f(x; y) в точке А. 
б) производную в точке А по направлению вектора а.Пример №3. Найти полный дифференциал функции, градиент и производную вдоль вектора l(1;2). 
z = ln(sqrt(x^2+y^2))+2^xРешение. 
Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.: 

Находим частные производные:

Тогда величина градиента равна:

Найдем производную в точке А по направлению вектора а(1;2). 

Найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы:

Модуль вектора |a| равен:

тогда направляющие косинусы:
 
Для вектора a имеем: 
 
Если ∂z/∂a > 0, то заданная функция в направлении вектора a возрастает.
Если ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает.Пример №4. Дана функция . Найти: 
1) gradu в точке A(5; 3; 0); 
2) производную в точке А в направлении вектора . 
Решение. 
1. . 
Найдем частные производные функции u в точке А. 
;; 
, . 
Тогда  
2. Производную по направлению вектора в точке А находим по формуле 

Частные производные в точке А нами уже найдены. Для того чтобы найти , найдем единичный вектор  вектора . 
, где . 
Отсюда .Пример №5. Даны функция z=f(x), точка А(х0, у0) и вектор a. Найти: 1) grad z в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора a. 
Решение. 
Находим частные производные:

Тогда величина градиента равна:

Найдем градиент в точке А(1;1)

или

Модуль grad(z):

Направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами:

Найдем производную в точке А по направлению вектора а(2;-5).

Найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы:

Модуль вектора |a| равен:

тогда направляющие косинусы:

Для вектора a имеем:
 
Поскольку ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает.
0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Математика
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота