Найти градиент и производную функции в направлении вектора а , в точке а: z=(x^2y+2xy^2)^4, a={-4: -3}, a(-1: 1)

Показать ответ

Ответ:

betmenduma

05.07.2020 09:28

$f:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R} \ \ \ f(x,y)=x^2y+2xy^2 \\
g:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} \ \ \ \ g(t)=t^4 \\
z:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R} \ \ \ z=g\circ f \\
\frac{\vartheta z(x,y)}{\vartheta x}=\frac{dg(f(x,y))}{dt}\cdot\frac{\vartheta f(x,y)}{\vartheta x} \\
\frac{\vartheta z(x,y)}{\vartheta x}=4(x^2y+2xy^2)^3\cdot (2xy+2y^2) \\
\frac{\vartheta z(-1,1)}{\vartheta x}=0 \ \ \ \ \ \ \ \ (2(-1)1+2(1)^2)=(-2+2)=0 \\$
$\frac{\vartheta z(x,y)}{\vartheta y}=4(x^2y+2xy^2)^3\cdot(x^2+4xy) \\
\frac{\vartheta z(-1,1)}{\vartheta y}=12 \ \ \ \ \ \ \ -4\cdot(-3)$
$\nabla z(-1,1)=(0,12)$

$\frac{\vartheta z}{\vartheta a}=\frac{dg(f(x,y))}{dt}\cdot\frac{\vartheta f(x,y)}{\vartheta a} =<\nabla z(x,y),\overrightarrow{a} \\
\frac{\vartheta z(-1,1)}{\vartheta (-4,-3)}=<\nabla z(-1,1), (-4,-3)=<(0,12),(-4,-3)=-36$

P.S. Решил добавить пару замечаний:
1). этап определения $z=g \circ f$ - не обязателен для решения. Я добавил его для наглядности получения частных производных. На мой взгляд - лучше прослеживается весь путь дифференциирования: сначала, по методу сложной функции одной переменной, из неё переходим в частную производную внутренней функции.

2). равенство $\frac{\vartheta z(x,y)}{\vartheta \overrightarrow{a}}=<\nabla z(x,y),\overrightarrow{a}$ доказывается отдельно.

Если возникнут вопросы - пиши.
Удачи!

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика