Найти коэффициенты m и n квадратного трехчлена x^2 + mx + n , если известно, что его остатки при делении на двучлены x - m и x - n равны m и n соответственно.
Чтобы найти коэффициенты m и n квадратного трехчлена x^2 + mx + n, мы можем воспользоваться методом деления многочленов. Для этого нам нужно разделить заданный трехчлен на каждый из двучленов x - m и x - n и проанализировать полученные остатки.
Для начала, разделим трехчлен x^2 + mx + n на x - m:
(x^2 + mx + n) : (x - m)
x + m
___________________________
x - m | x^2 + mx + n
- (x^2 - mx)
2mx + n
___________________________
-(2mx - n)
Таким образом, остаток при таком делении равен 2mx - n. Мы знаем, что этот остаток равен m, поэтому мы можем записать уравнение:
2mx - n = m
Далее, разделим трехчлен x^2 + mx + n на x - n:
(x^2 + mx + n) : (x - n)
x + n
___________________________
x - n | x^2 + mx + n
- (x^2 - nx)
Таким образом, остаток при этом делении равен mx - (n - nx) = mx - n + nx. Мы знаем, что этот остаток равен n, поэтому мы можем записать уравнение:
mx - n + nx = n
Из двух уравнений, полученных при делении на оба двучлена, мы можем составить систему уравнений:
2mx - n = m
mx - n + nx = n
Чтобы решить эту систему уравнений, мы можем привести ее к более удобному виду. Для этого сгруппируем члены с неизвестными m и n:
2mx - n - m = 0
mx - n + nx - n = 0
Приведем подобные члены:
2mx - m - n = 0
mx + (nx - 2n) = 0
Теперь, чтобы избавиться от непроизведенных членов, мы можем поделить каждое уравнение на соответствующий коэффициент:
2mx - m - n = 0 : m
mx + (nx - 2n) = 0 : n
Получаем:
2x - 1 - n/m = 0
x + (n/m)x - 2n/m = 0
Теперь мы можем объединить члены с неизвестными m и n в одно уравнение:
2x + (n/m - 1) + (n/m)x - 2n/m = 0
Приведем подобные члены:
2x + (2n/m - 1) + (n/m)x = 2n/m
Чтобы избавиться от дробей, мы можем домножить оба выражения на m:
2mx + 2n - m + nx = 2n
Сгруппируем члены с неизвестными m и n:
(2m + n)x + 2n - m = 2n
Сравнивая коэффициенты при x и свободные члены слева и справа от равенства, получаем систему уравнений:
2m + n = 0
2n - m = 0
Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Для этого мы можем, например, представить второе уравнение как m = 2n и подставить его в первое уравнение:
2(2n) + n = 0
Раскроем скобки:
4n + n = 0
Складываем коэффициенты при n:
5n = 0
Разделим обе части на 5:
n = 0
Теперь, зная значение n, мы можем найти значение m, подставив его в одно из уравнений:
2n - m = 0
Подставляем n = 0:
2(0) - m = 0
Упрощаем:
-m = 0
Меняем знак на обеих сторонах:
m = 0
Таким образом, мы нашли значения коэффициентов m = 0 и n = 0 для заданного квадратного трехчлена x^2 + mx + n при условии, что остатки при делении на двучлены x - m и x - n равны m и n соответственно.
Для начала, разделим трехчлен x^2 + mx + n на x - m:
(x^2 + mx + n) : (x - m)
x + m
___________________________
x - m | x^2 + mx + n
- (x^2 - mx)
2mx + n
___________________________
-(2mx - n)
Таким образом, остаток при таком делении равен 2mx - n. Мы знаем, что этот остаток равен m, поэтому мы можем записать уравнение:
2mx - n = m
Далее, разделим трехчлен x^2 + mx + n на x - n:
(x^2 + mx + n) : (x - n)
x + n
___________________________
x - n | x^2 + mx + n
- (x^2 - nx)
mx + (n - nx)
___________________________
- (mx - (n - nx))
Таким образом, остаток при этом делении равен mx - (n - nx) = mx - n + nx. Мы знаем, что этот остаток равен n, поэтому мы можем записать уравнение:
mx - n + nx = n
Из двух уравнений, полученных при делении на оба двучлена, мы можем составить систему уравнений:
2mx - n = m
mx - n + nx = n
Чтобы решить эту систему уравнений, мы можем привести ее к более удобному виду. Для этого сгруппируем члены с неизвестными m и n:
2mx - n - m = 0
mx - n + nx - n = 0
Приведем подобные члены:
2mx - m - n = 0
mx + (nx - 2n) = 0
Теперь, чтобы избавиться от непроизведенных членов, мы можем поделить каждое уравнение на соответствующий коэффициент:
2mx - m - n = 0 : m
mx + (nx - 2n) = 0 : n
Получаем:
2x - 1 - n/m = 0
x + (n/m)x - 2n/m = 0
Теперь мы можем объединить члены с неизвестными m и n в одно уравнение:
2x + (n/m - 1) + (n/m)x - 2n/m = 0
Приведем подобные члены:
2x + (2n/m - 1) + (n/m)x = 2n/m
Чтобы избавиться от дробей, мы можем домножить оба выражения на m:
2mx + 2n - m + nx = 2n
Сгруппируем члены с неизвестными m и n:
(2m + n)x + 2n - m = 2n
Сравнивая коэффициенты при x и свободные члены слева и справа от равенства, получаем систему уравнений:
2m + n = 0
2n - m = 0
Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Для этого мы можем, например, представить второе уравнение как m = 2n и подставить его в первое уравнение:
2(2n) + n = 0
Раскроем скобки:
4n + n = 0
Складываем коэффициенты при n:
5n = 0
Разделим обе части на 5:
n = 0
Теперь, зная значение n, мы можем найти значение m, подставив его в одно из уравнений:
2n - m = 0
Подставляем n = 0:
2(0) - m = 0
Упрощаем:
-m = 0
Меняем знак на обеих сторонах:
m = 0
Таким образом, мы нашли значения коэффициентов m = 0 и n = 0 для заданного квадратного трехчлена x^2 + mx + n при условии, что остатки при делении на двучлены x - m и x - n равны m и n соответственно.