Найти координаты Построить фигуру
69x^2-407y^2+480xy+156x+2262y-1014=0
(На фото пример начала решения)

Первые 4 хода:
1) 27 + 26 + 1 = 54
2) 25 + 24 + 6 = 55
3) 23 + 22 + 11 = 56
4) 21 + 20 + 16 = 57

Сумма всех чисел от 1 до 27
S = (1 + 27) / 2 * 27 = 378
Сумма всех чисел от 54 до 62
S = (54 + 62) / 2 * 9 = 522
Следовательно сделать 9 ходов нельзя.

Найдем максимальное количество ходов через уравнение:
(54 * 2 + n - 1) / 2 * n = 378
(107 + n) / 2 * n = 378
n² + 107n = 756
n² + 107n - 756 = 0
D = 107² + 4 * 756 = 14473 ≈ 120²
n₁ = (-107 + 120) / 2 = 6,5 - округляем вниз
n₂ = (-107 - 120) / 2 < 0 не уд. условию

Значит максимум можно сделать 6 ходов 

Попробуем доказать по индукции.
5^(5x+1) + 4^(5x+2) + 3^(5x) = 5*5^(5x) + 16*4^(5x) + 3^(5x)
При x = 0 будет 5*5^0 + 16*5^0 + 3^0 = 5 + 16 + 1 = 22 = 2*11 - делится на 11.
Пусть при каком-то x это верно, докажем, что это верно и при x+1
5^(5x+5+1) + 4^(5x+5+2) + 3^(5x+5) = 5^(5x+6) + 4^(5x+7) + 3^(5x+5) =
= 5^6*5^(5x) + 4^7*4^(5x) + 3^5*3^(5x) = 15625*5^(5x) + 16384*4^(5x) + 243*3^(5x)
Вычтем из него нашу сумму 5*5^(5x) + 16*4^(5x) + 3^(5x), которая делится на 11,
и проверим, делится ли на 11 разность.
15625*5^(5x) + 16384*4^(5x) + 243*3^(5x) - 5*5^(5x) - 16*4^(5x) - 3^(5x) =
= 15620*5^(5x) + 16368*4^(5x) + 242*3^(5x) =
= 11*1420*5^(5x) + 11*1488*4^(5x) + 11*22*3^(5x)
Все три коэффициента делятся на 11, значит, и разность делится на 11, и
следующий член последовательности 5^(5x+6) + 4^(5x+7) + 3^(5x+5) делится на 11.